R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace R F
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e
b : B
⊢ Continuous { toFun := e.symm b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun

case pos
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace R F
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
⊢ Continuous { toFun := e.symm b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun

case neg
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace R F
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∉ e.baseSet
⊢ Continuous { toFun := e.symm b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun


α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
⊢ ∃ δ > 0, ∀ {a b : β}, K ≤ abv a → K ≤ abv b → abv (a - b) < δ → abv (a⁻¹ - b⁻¹) < ε

α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
⊢ abv (a⁻¹ - b⁻¹) < ε

refine ⟨K * ε * K, mul_pos (mul_pos K0 ε0) K0, fun {a b} ha hb h => ?_⟩

α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
⊢ abv (a⁻¹ - b⁻¹) < ε

α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
⊢ abv (a⁻¹ - b⁻¹) < ε

α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
⊢ (abv a)⁻¹ * abv (a - b) * (abv b)⁻¹ < ε

rw [inv_sub_inv' ((abv_pos abv).1 a0) ((abv_pos abv).1 b0), abv_mul abv, abv_mul abv, abv_inv abv,
    abv_inv abv, abv_sub abv]

α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
⊢ abv a * ((abv a)⁻¹ * abv (a - b) * (abv b)⁻¹) * abv b < abv a * ε * abv b

refine lt_of_mul_lt_mul_left (lt_of_mul_lt_mul_right ?_ b0.le) a0.le

α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
⊢ abv (a - b) < abv a * ε * abv b

rw [mul_assoc, inv_mul_cancel_right₀ b0.ne', ← mul_assoc, mul_inv_cancel a0.ne', one_mul]

α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
⊢ K * ε * K ≤ abv a * ε * abv b


𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h₀ : f₀ =ᶠ[L] f₁
hx : f₀ x = f₁ x
h₁ : ∀ (x : E), f₀' x = f₁' x
⊢ HasFDerivAtFilter f₀ f₀' x L ↔ HasFDerivAtFilter f₁ f₁' x L

𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h₀ : f₀ =ᶠ[L] f₁
hx : f₀ x = f₁ x
h₁ : ∀ (x : E), f₀' x = f₁' x
⊢ ((fun x' => f₀ x' - f₀ x - f₀' (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x) ↔
    (fun x' => f₁ x' - f₁ x - f₁' (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x

exact isLittleO_congr (h₀.mono fun y hy => by simp only [hy, h₁, hx]) .rfl


N : ℕ
hN : ¬Prime N
⊢ N.succ.smoothNumbers = N.smoothNumbers

simp only [smoothNumbers_eq_factoredNumbers, Finset.range_succ, factoredNumbers_insert _ hN]


α : Type u_1
f : α → α
m n : Nat
l : List α
h : m ≠ n
⊢ (modifyNth f m l).get? n = l.get? n


C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v₁, u_1} D
inst✝ : Preadditive D
M : Mat_ C
⊢ (𝟭 C).mapMat_.obj M = (𝟭 (Mat_ C)).obj M

case mk
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v₁, u_1} D
inst✝ : Preadditive D
ι✝ : Type
fintype✝ : Fintype ι✝
X✝ : ι✝ → C
⊢ (𝟭 C).mapMat_.obj (Mat_.mk ι✝ X✝) = (𝟭 (Mat_ C)).obj (Mat_.mk ι✝ X✝)

C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v₁, u_1} D
inst✝ : Preadditive D
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
⊢ (𝟭 C).mapMat_.map f ≫ ((fun M => eqToIso ⋯) N).hom = ((fun M => eqToIso ⋯) M).hom ≫ (𝟭 (Mat_ C)).map f

case H
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v₁, u_1} D
inst✝ : Preadditive D
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
i✝ : ((𝟭 C).mapMat_.obj M).ι
j✝ : ((𝟭 (Mat_ C)).obj N).ι
⊢ ((𝟭 C).mapMat_.map f ≫ ((fun M => eqToIso ⋯) N).hom) i✝ j✝ = (((fun M => eqToIso ⋯) M).hom ≫ (𝟭 (Mat_ C)).map f) i✝ j✝

case H.mk
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v₁, u_1} D
inst✝ : Preadditive D
N : Mat_ C
j✝ : ((𝟭 (Mat_ C)).obj N).ι
ι✝ : Type
fintype✝ : Fintype ι✝
X✝ : ι✝ → C
f : Mat_.mk ι✝ X✝ ⟶ N
i✝ : ((𝟭 C).mapMat_.obj (Mat_.mk ι✝ X✝)).ι
⊢ ((𝟭 C).mapMat_.map f ≫ ((fun M => eqToIso ⋯) N).hom) i✝ j✝ =
    (((fun M => eqToIso ⋯) (Mat_.mk ι✝ X✝)).hom ≫ (𝟭 (Mat_ C)).map f) i✝ j✝

case H.mk.mk
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v₁, u_1} D
inst✝ : Preadditive D
ι✝¹ : Type
fintype✝¹ : Fintype ι✝¹
X✝¹ : ι✝¹ → C
i✝ : ((𝟭 C).mapMat_.obj (Mat_.mk ι✝¹ X✝¹)).ι
ι✝ : Type
fintype✝ : Fintype ι✝
X✝ : ι✝ → C
j✝ : ((𝟭 (Mat_ C)).obj (Mat_.mk ι✝ X✝)).ι
f : Mat_.mk ι✝¹ X✝¹ ⟶ Mat_.mk ι✝ X✝
⊢ ((𝟭 C).mapMat_.map f ≫ ((fun M => eqToIso ⋯) (Mat_.mk ι✝ X✝)).hom) i✝ j✝ =
    (((fun M => eqToIso ⋯) (Mat_.mk ι✝¹ X✝¹)).hom ≫ (𝟭 (Mat_ C)).map f) i✝ j✝


R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hmn : VanishesTrivially R m n
⊢ ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
κ : Type u
w✝ : Fintype κ
a : ι → κ → R
y : κ → N
h₁ : ∀ (i : ι), n i = ∑ j : κ, a i j • y j
h₂ : ∀ (j : κ), ∑ i : ι, a i j • m i = 0
⊢ ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
κ : Type u
w✝ : Fintype κ
a : ι → κ → R
y : κ → N
h₁ : ∀ (i : ι), n i = ∑ j : κ, a i j • y j
h₂ : ∀ (j : κ), ∑ i : ι, a i j • m i = 0
⊢ ∑ x : ι, ∑ x_1 : κ, a x x_1 • m x ⊗ₜ[R] y x_1 = 0

case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
κ : Type u
w✝ : Fintype κ
a : ι → κ → R
y : κ → N
h₁ : ∀ (i : ι), n i = ∑ j : κ, a i j • y j
h₂ : ∀ (j : κ), ∑ i : ι, a i j • m i = 0
⊢ ∑ y_1 : κ, ∑ x : ι, a x y_1 • m x ⊗ₜ[R] y y_1 = 0

simp_rw [← tmul_smul, ← smul_tmul, ← sum_tmul, h₂, zero_tmul, Finset.sum_const_zero]


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : Preorder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : Preorder δ
g : EsakiaHom β γ
f₁ f₂ : EsakiaHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)


m n : ℕ
x y : ZMod n
⊢ (x - y).cast = (x.cast - y.cast) % ↑n

rw [← ZMod.coe_intCast, Int.cast_sub, ZMod.intCast_zmod_cast, ZMod.intCast_zmod_cast]


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : EMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
C : ℝ≥0∞
sC : Set ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ↑s
⊢ 0 < s.einfsep

case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : EMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
C : ℝ≥0∞
sC : Set ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ↑s
val✝ : Fintype ↑s
⊢ 0 < s.einfsep

case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : EMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
C : ℝ≥0∞
sC : Set ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ↑s
val✝ : Fintype ↑s
hs : s.Nontrivial
⊢ 0 < s.einfsep

case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : EMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
C : ℝ≥0∞
sC : Set ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ↑s
val✝ : Fintype ↑s
hs : ¬s.Nontrivial
⊢ 0 < s.einfsep


α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Zero M
⊢ ∅.lookupFinsupp = 0


K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
⊢ ‖reCLM‖ = 1

K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
⊢ 1 ≤ ‖reLm.mkContinuous 1 ⋯‖

apply le_antisymm (LinearMap.mkContinuous_norm_le _ zero_le_one _)

case h.e'_3
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
⊢ 1 = ‖reCLM 1‖ / ‖1‖

convert ContinuousLinearMap.ratio_le_opNorm (reCLM : K →L[ℝ] ℝ) (1 : K)


α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero α
a b c d x y z : α
n : ℕ
inst✝ : NoZeroDivisors α
hn : n ≠ 0
⊢ 0 < a ^ n ↔ 0 < a

simp_rw [zero_lt_iff, pow_ne_zero_iff hn]


C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasPullbacks C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : Epi g
s : PullbackCone f g
hs : IsLimit s
⊢ Epi s.fst

C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasPullbacks C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : Epi g
s : PullbackCone f g
hs : IsLimit s
this : Epi ((limit.cone (cospan f g)).π.app WalkingCospan.left)
⊢ Epi s.fst

haveI : Epi (NatTrans.app (limit.cone (cospan f g)).π WalkingCospan.left) :=
    Abelian.epi_pullback_of_epi_g f g

apply epi_of_epi_fac (IsLimit.conePointUniqueUpToIso_hom_comp (limit.isLimit _) hs _)


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a✝ : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ (a • s)⁻¹ = op a⁻¹ • s⁻¹

case a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a✝¹ : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
a✝ : α
⊢ a✝ ∈ (a • s)⁻¹ ↔ a✝ ∈ op a⁻¹ • s⁻¹


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ VectorMeasure.restrict s u
hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ VectorMeasure.restrict s v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
⊢ ↑s (u \ v) = 0 ∧ ↑s (v \ u) = 0

α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hsu : ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ u → ↑0 j ≤ ↑s j
hsv : ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ v → ↑0 j ≤ ↑s j
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
⊢ ↑s (u \ v) = 0 ∧ ↑s (v \ u) = 0

case hi
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hsu : ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ u → ↑0 j ≤ ↑s j
hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ VectorMeasure.restrict s v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
⊢ MeasurableSet v

case hi
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ VectorMeasure.restrict s u
hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ VectorMeasure.restrict s v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
⊢ MeasurableSet u

rw [restrict_le_restrict_iff] at hsu hsv

case left
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hsu : ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ u → ↑0 j ≤ ↑s j
hsv : ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ v → ↑0 j ≤ ↑s j
hs : ↑s (u \ v) + ↑s (v \ u) = 0
a : 0 ≤ ↑s (u \ v)
b : 0 ≤ ↑s (v \ u)
⊢ ↑s (u \ v) = 0

case right
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hsu : ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ u → ↑0 j ≤ ↑s j
hsv : ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ v → ↑0 j ≤ ↑s j
hs : ↑s (u \ v) + ↑s (v \ u) = 0
a : 0 ≤ ↑s (u \ v)
b : 0 ≤ ↑s (v \ u)
⊢ ↑s (v \ u) = 0

case hi
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hsu : ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ u → ↑0 j ≤ ↑s j
hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ VectorMeasure.restrict s v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
⊢ MeasurableSet v

case hi
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ VectorMeasure.restrict s u
hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ VectorMeasure.restrict s v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
⊢ MeasurableSet u

on_goal 1 =>
    have a := hsu (hu.diff hv) diff_subset
    have b := hsv (hv.diff hu) diff_subset
    erw [of_union (Set.disjoint_of_subset_left diff_subset disjoint_sdiff_self_right)
        (hu.diff hv) (hv.diff hu)] at hs
    rw [zero_apply] at a b
    constructor


C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{max v u, w} D
inst✝ : ConcreteCategory D
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
Y : C
f g : Y ⟶ X
h : f = g
hf : S.sieve.arrows f
⊢ S.sieve.arrows g

C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{max v u, w} D
inst✝ : ConcreteCategory D
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
Y : C
f g : Y ⟶ X
h : f = g
hf : S.sieve.arrows f
⊢ ↑x { Y := Y, f := f, hf := hf } = ↑x { Y := Y, f := g, hf := ⋯ }

C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{max v u, w} D
inst✝ : ConcreteCategory D
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.sieve.arrows f
⊢ ↑x { Y := Y, f := f, hf := hf } = ↑x { Y := Y, f := f, hf := ⋯ }


C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ Mono (Abelian.factorThruCoimage f)


R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.Φ 3 = X * W.Ψ₃ ^ 2 - W.preΨ₄ * W.Ψ₂Sq

erw [Φ_ofNat, preΨ'_three, mul_one, preΨ'_four, preΨ'_two, mul_one, if_pos even_two]


B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w₁ w₂ : W
⊢ cs.length w₂ - cs.length w₁ ≤ cs.length (w₁ * w₂)

simpa [Nat.sub_le_of_le_add, add_comm] using cs.length_mul_le w₁⁻¹ (w₁ * w₂)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
⊢ ∀ (x : β), x ∈ ↑(image f s) ↔ x ∈ f '' ↑s

simp only [mem_coe, mem_image, Set.mem_image, implies_true]


α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : M
⊢ a ^ (n - 1) * a = a ^ n

rw [← pow_succ, Nat.sub_add_cancel $ Nat.one_le_iff_ne_zero.2 hn]


K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : IsAtom I
⊢ (Φ.restrict (lieIdealSubalgebra K L I).toSubmodule).Nondegenerate

K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : IsAtom I
⊢ IsCompl (lieIdealSubalgebra K L I).toSubmodule (Φ.orthogonal (lieIdealSubalgebra K L I).toSubmodule)

exact orthogonal_isCompl_coe_submodule Φ hΦ_nondeg hΦ_inv hΦ_refl hL I hI


R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ I : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
x y : M₁
⊢ -(B x) y = (B y) x

R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ I : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
x y : M₁
H1 : (B (y + x)) (y + x) = 0
⊢ -(B x) y = (B y) x

have H1 : B (y + x) (y + x) = 0 := self_eq_zero H (y + x)

R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ I : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
x y : M₁
H1 : (B x) y + (B y) x = 0
⊢ -(B x) y = (B y) x

simp? [map_add, self_eq_zero H] at H1 says
    simp only [map_add, add_apply, self_eq_zero H, zero_add, add_zero] at H1

R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ I : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
x y : M₁
H1 : -(B x) y = (B y) x
⊢ -(B x) y = (B y) x


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S✝ : ComposableArrows C n
S : ComposableArrows C 0
i : ℕ
hi : autoParam (i + 2 ≤ 0) _auto✝
⊢ (S.sc ⋯ i ⋯).Exact


α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
ho : o.card < c
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), ∀ b < c.ord, f i hi b < c.ord
a : Ordinal.{u}
⊢ lift.{u, u} o.card < c


C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X Y : C
f : J → C
⊢ ((asIso (𝟙 X) ⊗ leftDistributor Y f) ≪≫ leftDistributor X fun j => Y ⊗ f j) =
    (α_ X Y (⨁ f)).symm ≪≫ leftDistributor (X ⊗ Y) f ≪≫ biproduct.mapIso fun j => α_ X Y (f j)

case w.w
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X Y : C
f : J → C
j✝ : J
⊢ ((asIso (𝟙 X) ⊗ leftDistributor Y f) ≪≫ leftDistributor X fun j => Y ⊗ f j).hom ≫
      biproduct.π (fun j => X ⊗ Y ⊗ f j) j✝ =
    ((α_ X Y (⨁ f)).symm ≪≫ leftDistributor (X ⊗ Y) f ≪≫ biproduct.mapIso fun j => α_ X Y (f j)).hom ≫
      biproduct.π (fun j => X ⊗ Y ⊗ f j) j✝

case w.w
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X Y : C
f : J → C
j✝ : J
⊢ (if j✝ ∈ Finset.univ then
      ∑ x : J,
        (𝟙 X ⊗ Y ◁ biproduct.π f x) ≫ (𝟙 X ⊗ biproduct.ι (fun j => Y ⊗ f j) x) ≫ X ◁ biproduct.π (fun j => Y ⊗ f j) j✝
    else 0) =
    if j✝ ∈ Finset.univ then (α_ X Y (⨁ f)).inv ≫ (X ⊗ Y) ◁ biproduct.π f j✝ ≫ (α_ X Y (f j✝)).hom else 0

simp only [Category.comp_id, Category.assoc, eqToHom_refl, Iso.trans_hom, Iso.symm_hom,
    asIso_hom, comp_zero, comp_dite, Preadditive.sum_comp, Preadditive.comp_sum, tensor_sum,
    id_tensor_comp, tensorIso_hom, leftDistributor_hom, biproduct.mapIso_hom, biproduct.ι_map,
    biproduct.ι_π, Finset.sum_dite_irrel, Finset.sum_dite_eq', Finset.sum_const_zero]

case w.w
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X Y : C
f : J → C
j✝ : J
⊢ (if j✝ ∈ Finset.univ then
      ∑ x : J,
        (𝟙 X ⊗ 𝟙 Y ⊗ biproduct.π f x) ≫
          (𝟙 X ⊗ biproduct.ι (fun j => Y ⊗ f j) x) ≫ (𝟙 X ⊗ biproduct.π (fun j => Y ⊗ f j) j✝)
    else 0) =
    if j✝ ∈ Finset.univ then (α_ X Y (⨁ f)).inv ≫ (𝟙 (X ⊗ Y) ⊗ biproduct.π f j✝) ≫ (α_ X Y (f j✝)).hom else 0

case w.w
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X Y : C
f : J → C
j✝ : J
⊢ (if j✝ ∈ Finset.univ then ∑ x : J, 𝟙 X ⊗ (𝟙 Y ⊗ biproduct.π f x) ≫ if h : x = j✝ then eqToHom ⋯ else 0 else 0) =
    if j✝ ∈ Finset.univ then (α_ X Y (⨁ f)).inv ≫ (𝟙 (X ⊗ Y) ⊗ biproduct.π f j✝) ≫ (α_ X Y (f j✝)).hom else 0

simp only [← id_tensor_comp, biproduct.ι_π]

case w.w
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X Y : C
f : J → C
j✝ : J
⊢ (if j✝ ∈ Finset.univ then
      ∑ x : J,
        if h : x = j✝ then (𝟙 X ⊗ 𝟙 Y ⊗ biproduct.π f x) ≫ (𝟙 X ⊗ eqToHom ⋯)
        else (𝟙 X ⊗ 𝟙 Y ⊗ biproduct.π f x) ≫ (𝟙 X ⊗ 0)
    else 0) =
    if j✝ ∈ Finset.univ then (α_ X Y (⨁ f)).inv ≫ (𝟙 (X ⊗ Y) ⊗ biproduct.π f j✝) ≫ (α_ X Y (f j✝)).hom else 0

simp only [id_tensor_comp, tensor_dite, comp_dite]


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h3 : 3 ≤ card α
⊢ Nontrivial ↥(alternatingGroup α)

α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h3 : 3 ≤ card α
this : Nontrivial α
⊢ Nontrivial ↥(alternatingGroup α)

haveI := Fintype.one_lt_card_iff_nontrivial.1 (lt_trans (by decide) h3)

α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h3 : 3 ≤ card α
this : Nontrivial α
⊢ 1 < card ↥(alternatingGroup α)

α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h3 : 3 ≤ card α
this : Nontrivial α
⊢ 2 * 1 < 2 * card ↥(alternatingGroup α)

refine lt_of_mul_lt_mul_left ?_ (le_of_lt Nat.prime_two.pos)

α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h3 : 3 ≤ card α
this : Nontrivial α
⊢ (2 * 1).succ ≤ (card α).factorial

rw [two_mul_card_alternatingGroup, card_perm, ← Nat.succ_le_iff]

exact le_trans h3 (card α).self_le_factorial


P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
y : ℝ
⊢ P ⊥ ↑y

case inl
P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
y : ℝ
hy : y < 0
⊢ P ⊥ ↑y

case inr.inl
P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
⊢ P ⊥ ↑0

case inr.inr
P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ P ⊥ ↑y

rcases lt_trichotomy y 0 with (hy | rfl | hy)

exacts [bot_neg y hy, bot_zero, bot_pos y hy]

P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
x : ℝ
⊢ P ↑x ⊥

case inl
P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
x : ℝ
hx : x < 0
⊢ P ↑x ⊥

case inr.inl
P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
⊢ P ↑0 ⊥

case inr.inr
P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ P ↑x ⊥

rcases lt_trichotomy x 0 with (hx | rfl | hx)

exacts [neg_bot x hx, zero_bot, pos_bot x hx]

P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
x : ℝ
⊢ P ↑x ⊤

case inl
P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
x : ℝ
hx : x < 0
⊢ P ↑x ⊤

case inr.inl
P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
⊢ P ↑0 ⊤

case inr.inr
P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ P ↑x ⊤

exacts [neg_top x hx, zero_top, pos_top x hx]

P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
y : ℝ
⊢ P ⊤ ↑y

case inl
P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
y : ℝ
hy : y < 0
⊢ P ⊤ ↑y

case inr.inl
P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
⊢ P ⊤ ↑0

case inr.inr
P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ P ⊤ ↑y

exacts [top_neg y hy, top_zero, top_pos y hy]


q : ℚ
x y : ℝ
m : ℤ
h : Irrational (↑m * x)
⊢ Irrational (↑↑m * x)


p : ℝ
⊢ (Summable fun n => (↑n ^ p)⁻¹) ↔ 1 < p


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => x / n) atTop atTop

rw [Tendsto, map_div_atTop_eq_nat n hn.bot_lt]


β✝ : Type u_1
b : β✝
α✝ : Type u_2
x : α✝ ⊕ β✝
⊢ x.getRight? = some b ↔ x = inr b

cases x <;> simp only [getRight?, Option.some.injEq, inr.injEq]


ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
m : ℕ
x : M
v : Fin m → M
hli : LinearIndependent R v
x_ortho : ∀ (c : R) (y : ↥(span R (range v))), c • x + ↑y = 0 → c = 0
⊢ LinearIndependent R (Fin.cons x v)

ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
m : ℕ
x : M
v : Fin m → M
hli : ∀ (g : Fin m → R), ∑ i : Fin m, g i • v i = 0 → ∀ (i : Fin m), g i = 0
x_ortho : ∀ (c : R) (y : ↥(span R (range v))), c • x + ↑y = 0 → c = 0
⊢ ∀ (g : Fin (m + 1) → R), ∑ i : Fin (m + 1), g i • Fin.cons x v i = 0 → ∀ (i : Fin (m + 1)), g i = 0

rw [Fintype.linearIndependent_iff] at hli ⊢

ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
m : ℕ
x : M
v : Fin m → M
hli : ∀ (g : Fin m → R), ∑ i : Fin m, g i • v i = 0 → ∀ (i : Fin m), g i = 0
x_ortho : ∀ (c : R) (y : ↥(span R (range v))), c • x + ↑y = 0 → c = 0
g : Fin (m + 1) → R
total_eq : ∑ i : Fin (m + 1), g i • Fin.cons x v i = 0
j : Fin (m + 1)
⊢ g j = 0

ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
m : ℕ
x : M
v : Fin m → M
hli : ∀ (g : Fin m → R), ∑ i : Fin m, g i • v i = 0 → ∀ (i : Fin m), g i = 0
x_ortho : ∀ (c : R) (y : ↥(span R (range v))), c • x + ↑y = 0 → c = 0
g : Fin (m + 1) → R
j : Fin (m + 1)
total_eq : g 0 • x + ∑ x : Fin m, g x.succ • v x = 0
⊢ g j = 0

simp_rw [Fin.sum_univ_succ, Fin.cons_zero, Fin.cons_succ] at total_eq

ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
m : ℕ
x : M
v : Fin m → M
hli : ∀ (g : Fin m → R), ∑ i : Fin m, g i • v i = 0 → ∀ (i : Fin m), g i = 0
x_ortho : ∀ (c : R) (y : ↥(span R (range v))), c • x + ↑y = 0 → c = 0
g : Fin (m + 1) → R
j : Fin (m + 1)
total_eq : g 0 • x + ∑ x : Fin m, g x.succ • v x = 0
this : g 0 = 0
⊢ g j = 0

have : g 0 = 0 := by
    refine x_ortho (g 0) ⟨∑ i : Fin m, g i.succ • v i, ?_⟩ total_eq
    exact sum_mem fun i _ => smul_mem _ _ (subset_span ⟨i, rfl⟩)

ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
m : ℕ
x : M
v : Fin m → M
hli : ∀ (g : Fin m → R), ∑ i : Fin m, g i • v i = 0 → ∀ (i : Fin m), g i = 0
x_ortho : ∀ (c : R) (y : ↥(span R (range v))), c • x + ↑y = 0 → c = 0
g : Fin (m + 1) → R
j : Fin (m + 1)
total_eq : ∑ x : Fin m, g x.succ • v x = 0
this : g 0 = 0
⊢ g j = 0

rw [this, zero_smul, zero_add] at total_eq


k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : fs.card = m + 1
⊢ centroid k univ (s.face h).points = centroid k fs s.points

case h.e'_3.h.e'_9
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : fs.card = m + 1
⊢ fs = map (fs.orderEmbOfFin h).toEmbedding univ

convert (Finset.univ.centroid_map k (fs.orderEmbOfFin h).toEmbedding s.points).symm

case h.e'_3.h.e'_9
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : fs.card = m + 1
⊢ ↑fs = Set.range ⇑(fs.orderEmbOfFin h).toEmbedding

rw [← Finset.coe_inj, Finset.coe_map, Finset.coe_univ, Set.image_univ]


K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
r : ℝ
z : K
⊢ re (↑r * z) = r * re z

simp only [mul_re, ofReal_im, zero_mul, ofReal_re, sub_zero]


α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b c d : α
⊢ a * (b / c) = b * (a / c)


ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
⊢ Tendsto (fun a => (a, a)) atTop atTop

ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
⊢ Tendsto (fun a => (a, a)) atTop (atTop ×ˢ atTop)


α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t : Set α
π : β → Type u_2
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoEMetricSpace (π b)
s : (b : β) → Set (π b)
c : ℝ≥0∞
h : ∀ (b : β), diam (s b) ≤ c
⊢ diam (univ.pi s) ≤ c

α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
x✝ y✝ z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t : Set α
π : β → Type u_2
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoEMetricSpace (π b)
s : (b : β) → Set (π b)
c : ℝ≥0∞
h : ∀ (b : β), diam (s b) ≤ c
x : (i : β) → π i
hx : x ∈ univ.pi s
y : (i : β) → π i
hy : y ∈ univ.pi s
⊢ ∀ (b : β), edist (x b) (y b) ≤ c

refine diam_le fun x hx y hy => edist_pi_le_iff.mpr ?_

α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
x✝ y✝ z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t : Set α
π : β → Type u_2
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoEMetricSpace (π b)
s : (b : β) → Set (π b)
c : ℝ≥0∞
h : ∀ (b : β), diam (s b) ≤ c
x : (i : β) → π i
hx : ∀ (i : β), x i ∈ s i
y : (i : β) → π i
hy : ∀ (i : β), y i ∈ s i
⊢ ∀ (b : β), edist (x b) (y b) ≤ c

exact fun b => diam_le_iff.1 (h b) (x b) (hx b) (y b) (hy b)


ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m₁ m₂ : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
h0 : c ≠ 0
hle : m₁ ≤ᶠ[𝓝[≥] 0] c • m₂
s : Set X
⊢ (mkMetric m₁) s ≤ (c • mkMetric m₂) s

ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m₁ m₂ : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
h0 : c ≠ 0
hle : m₁ ≤ᶠ[𝓝[≥] 0] c • m₂
s : Set X
⊢ (OuterMeasure.mkMetric m₁) s ≤ (c • ⇑(OuterMeasure.mkMetric m₂)) s

rw [← OuterMeasure.coe_mkMetric, coe_smul, ← OuterMeasure.coe_mkMetric]

exact OuterMeasure.mkMetric_mono_smul hc h0 hle s


induction o using limitRecOn with
  | H₁ => simp
  | H₂ o h =>
    rw [aleph_succ, beth_succ, succ_le_iff]
    exact (cantor _).trans_le (power_le_power_left two_ne_zero h)
  | H₃ o ho IH =>
    rw [aleph_limit ho, beth_limit ho]
    exact ciSup_mono (bddAbove_of_small _) fun x => IH x.1 x.2


α : Type u_1
β : Type u_2
X : PartialFun
a : (partialFunToPointed ⋙ pointedToPartialFun).obj X
⊢ (fun a => ⟨some a, ⋯⟩) ((fun a => Option.get ↑a ⋯) a) = a

α : Type u_1
β : Type u_2
X✝ Y✝ : PartialFun
f : X✝ ⟶ Y✝
a : (𝟭 PartialFun).obj X✝
b : (partialFunToPointed ⋙ pointedToPartialFun).obj Y✝
⊢ b ∈
      ((𝟭 PartialFun).map f ≫
          ((fun X =>
                PartialFun.Iso.mk
                  { toFun := fun a => ⟨some a, ⋯⟩, invFun := fun a => Option.get ↑a ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ })
              Y✝).hom)
        a ↔
    b ∈
      (((fun X =>
                PartialFun.Iso.mk
                  { toFun := fun a => ⟨some a, ⋯⟩, invFun := fun a => Option.get ↑a ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ })
              X✝).hom ≫
          (partialFunToPointed ⋙ pointedToPartialFun).map f)
        a

α : Type u_1
β : Type u_2
X✝ Y✝ : PartialFun
f : X✝ ⟶ Y✝
a : (𝟭 PartialFun).obj X✝
b : (partialFunToPointed ⋙ pointedToPartialFun).obj Y✝
⊢ (b ∈ (f a).bind fun x => Part.some ⟨some x, ⋯⟩) ↔
    b ∈
      (Part.some ⟨some a, ⋯⟩).bind
        (PFun.toSubtype (fun x => ¬x = none) (Option.elim' none fun a => (f a).toOption) ∘ Subtype.val)

dsimp [PartialFun.Iso.mk, CategoryStruct.comp, pointedToPartialFun]

α : Type u_1
β : Type u_2
X✝ Y✝ : PartialFun
f : X✝ ⟶ Y✝
a : (𝟭 PartialFun).obj X✝
b : (partialFunToPointed ⋙ pointedToPartialFun).obj Y✝
⊢ (b ∈ (f a).bind fun x => Part.some ⟨some x, ⋯⟩) ↔
    b ∈ (PFun.toSubtype (fun x => ¬x = none) (Option.elim' none fun a => (f a).toOption) ∘ Subtype.val) ⟨some a, ⋯⟩

α : Type u_1
β : Type u_2
X✝ Y✝ : PartialFun
f : X✝ ⟶ Y✝
a : (𝟭 PartialFun).obj X✝
b : (partialFunToPointed ⋙ pointedToPartialFun).obj Y✝
⊢ (∃ a_1 ∈ f a, b ∈ Part.some ⟨some a_1, ⋯⟩) ↔ ↑b = Option.elim' none (fun a => (f a).toOption) ↑⟨some a, ⋯⟩

refine (Part.mem_bind_iff.trans ?_).trans PFun.mem_toSubtype_iff.symm

case mk.none
α : Type u_1
β : Type u_2
X✝ Y✝ : PartialFun
f : X✝ ⟶ Y✝
a : (𝟭 PartialFun).obj X✝
hb : none ≠ (partialFunToPointed.obj Y✝).point
⊢ (∃ a_1 ∈ f a, ⟨none, hb⟩ ∈ Part.some ⟨some a_1, ⋯⟩) ↔
    ↑⟨none, hb⟩ = Option.elim' none (fun a => (f a).toOption) ↑⟨some a, ⋯⟩

case mk.some
α : Type u_1
β : Type u_2
X✝ Y✝ : PartialFun
f : X✝ ⟶ Y✝
a : (𝟭 PartialFun).obj X✝
b : Y✝
hb : some b ≠ (partialFunToPointed.obj Y✝).point
⊢ (∃ a_1 ∈ f a, ⟨some b, hb⟩ ∈ Part.some ⟨some a_1, ⋯⟩) ↔
    ↑⟨some b, hb⟩ = Option.elim' none (fun a => (f a).toOption) ↑⟨some a, ⋯⟩

α : Type u_1
β : Type u_2
X : Pointed
⊢ ((pointedToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).obj X).X ≃ ((𝟭 Pointed).obj X).X

classical exact Equiv.optionSubtypeNe X.point

α : Type u_1
β : Type u_2
X : Pointed
⊢ (Equiv.optionSubtypeNe X.point) ((pointedToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).obj X).point = ((𝟭 Pointed).obj X).point

α : Type u_1
β : Type u_2
X Y : Pointed
f : X ⟶ Y
a : ((pointedToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).obj X).X
⊢ ((pointedToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).map f ≫
          ((fun X => Pointed.Iso.mk (Equiv.optionSubtypeNe X.point) ⋯) Y).hom).toFun
      a =
    (((fun X => Pointed.Iso.mk (Equiv.optionSubtypeNe X.point) ⋯) X).hom ≫ (𝟭 Pointed).map f).toFun a

case none
α : Type u_1
β : Type u_2
X Y : Pointed
f : X ⟶ Y
⊢ ((pointedToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).map f ≫
          ((fun X => Pointed.Iso.mk (Equiv.optionSubtypeNe X.point) ⋯) Y).hom).toFun
      none =
    (((fun X => Pointed.Iso.mk (Equiv.optionSubtypeNe X.point) ⋯) X).hom ≫ (𝟭 Pointed).map f).toFun none

case some.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
X Y : Pointed
f : X ⟶ Y
a : X.X
ha : a ≠ X.point
⊢ ((pointedToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).map f ≫
          ((fun X => Pointed.Iso.mk (Equiv.optionSubtypeNe X.point) ⋯) Y).hom).toFun
      (some ⟨a, ha⟩) =
    (((fun X => Pointed.Iso.mk (Equiv.optionSubtypeNe X.point) ⋯) X).hom ≫ (𝟭 Pointed).map f).toFun (some ⟨a, ha⟩)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x : List α
l : Language α
⊢ (map id) l = l


Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_int_X : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
h_int_Y : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * (X + Y) ω)) μ

Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_int_X : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
h_int_Y : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * X ω) * rexp (t * Y ω)) μ

simp_rw [Pi.add_apply, mul_add, exp_add]

exact AEStronglyMeasurable.mul h_int_X h_int_Y


ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{?u.135432, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c✝
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X : W₁
⊢ ((singleMapHomologicalComplex F c j).hom.app X).f j =
    F.map (singleObjXSelf c j X).hom ≫ (singleObjXSelf c j (F.obj X)).inv

simp [singleMapHomologicalComplex, singleObjXSelf, singleObjXIsoOfEq, eqToHom_map]


α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (t : β) ∂ν a, ∀ (q : ℚ), ⨅ r, f (a, t) ↑r = f (a, t) q

α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
⊢ ∀ (i : ℚ), ∀ᵐ (a_1 : β) ∂ν a, ⨅ r, f (a, a_1) ↑r = f (a, a_1) i

case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → (ν a) s < ⊤ → IntegrableOn (fun a_3 => ⨅ r, f (a, a_3) ↑r) s (ν a)

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → (ν a) s < ⊤ → IntegrableOn (fun a_3 => f (a, a_3) q) s (ν a)

case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → (ν a) s < ⊤ → ∫ (x : β) in s, ⨅ r, f (a, x) ↑r ∂ν a = ∫ (x : β) in s, f (a, x) q ∂ν a

refine fun q ↦ ae_eq_of_forall_setIntegral_eq_of_sigmaFinite (μ := ν a) ?_ ?_ ?_


S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Group G
a✝ x✝ y✝ a x y b : G
⊢ SemiconjBy (b * a * b⁻¹) (b * x * b⁻¹) (b * y * b⁻¹) ↔ SemiconjBy a x y

S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Group G
a✝ x✝ y✝ a x y b : G
⊢ b * a * b⁻¹ * (b * x * b⁻¹) = b * y * b⁻¹ * (b * a * b⁻¹) ↔ a * x = y * a

S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Group G
a✝ x✝ y✝ a x y b : G
⊢ b * a * x * b⁻¹ = b * y * a * b⁻¹ ↔ a * x = y * a

simp only [← mul_assoc, inv_mul_cancel_right]

S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Group G
a✝ x✝ y✝ a x y b : G
⊢ b * (a * (x * b⁻¹)) = b * (y * (a * b⁻¹)) ↔ a * x = y * a

rw [mul_left_cancel_iff, ← mul_assoc, ← mul_assoc, mul_right_cancel_iff]


R : Type u
inst✝⁸ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : FormallySmooth R A
inst✝ : FormallySmooth A B
⊢ FormallySmooth R B

case comp_surjective
R : Type u
inst✝⁸ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : FormallySmooth R A
inst✝ : FormallySmooth A B
⊢ ∀ ⦃B_1 : Type u⦄ [inst : CommRing B_1] [inst_1 : Algebra R B_1] (I : Ideal B_1),
    I ^ 2 = ⊥ → Function.Surjective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp

case comp_surjective
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsScalarTower R A B
inst✝³ : FormallySmooth R A
inst✝² : FormallySmooth A B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f : B →ₐ[R] C ⧸ I
⊢ ∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp a = f

case comp_surjective.intro
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsScalarTower R A B
inst✝³ : FormallySmooth R A
inst✝² : FormallySmooth A B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f : B →ₐ[R] C ⧸ I
f' : A →ₐ[R] C
e : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f' = f.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B)
⊢ ∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp a = f

obtain ⟨f', e⟩ := FormallySmooth.comp_surjective I hI (f.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B))

case comp_surjective.intro
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsScalarTower R A B
inst✝³ : FormallySmooth R A
inst✝² : FormallySmooth A B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f : B →ₐ[R] C ⧸ I
f' : A →ₐ[R] C
e : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f' = f.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B)
this : Algebra A C := f'.toAlgebra
⊢ ∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp a = f

case comp_surjective.intro.intro
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsScalarTower R A B
inst✝³ : FormallySmooth R A
inst✝² : FormallySmooth A B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f : B →ₐ[R] C ⧸ I
f' : A →ₐ[R] C
e : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f' = f.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B)
this : Algebra A C := f'.toAlgebra
f'' : B →ₐ[A] C
e' :
  (Ideal.Quotient.mkₐ A I).comp f'' =
    let __src := f.toRingHom;
    { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }
⊢ ∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp a = f

obtain ⟨f'', e'⟩ :=
    FormallySmooth.comp_surjective I hI { f.toRingHom with commutes' := AlgHom.congr_fun e.symm }

case comp_surjective.intro.intro
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsScalarTower R A B
inst✝³ : FormallySmooth R A
inst✝² : FormallySmooth A B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f : B →ₐ[R] C ⧸ I
f' : A →ₐ[R] C
e : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f' = f.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B)
this : Algebra A C := f'.toAlgebra
f'' : B →ₐ[A] C
e' :
  AlgHom.restrictScalars R ((Ideal.Quotient.mkₐ A I).comp f'') =
    AlgHom.restrictScalars R
      (let __src := f.toRingHom;
      { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ })
⊢ ∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp a = f

apply_fun AlgHom.restrictScalars R at e'

exact ⟨f''.restrictScalars _, e'.trans (AlgHom.ext fun _ => rfl)⟩


C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f✝ g : X ⟶ Y
P : C
π : Y ⟶ P
w : f✝ ≫ π = g ≫ π
i j : WalkingParallelPair
f : i ⟶ j
⊢ (parallelPair f✝ g).map f ≫ (fun X_1 => WalkingParallelPair.casesOn X_1 (f✝ ≫ π) π) j =
    (fun X_1 => WalkingParallelPair.casesOn X_1 (f✝ ≫ π) π) i ≫ ((Functor.const WalkingParallelPair).obj P).map f


w x✝ y✝ z y : ℝ
hy : 0 < y
x : ℝ≥0
⊢ (fun x => x ^ y) ((fun x => x ^ (1 / y)) x) = x

w x✝ y✝ z y : ℝ
hy : 0 < y
x : ℝ≥0
⊢ (x ^ (1 / y)) ^ y = x

rw [← rpow_mul, one_div_mul_cancel hy.ne.symm, rpow_one]


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Precoherent C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
⊢ Presieve.IsSheaf (coherentTopology C) P ↔
    ∀ (B : C) (α : Type) [inst : Finite α] (X : α → C) (π : (a : α) → X a ⟶ B),
      EffectiveEpiFamily X π → Presieve.IsSheafFor P (Presieve.ofArrows X π)

case mp
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Precoherent C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
⊢ Presieve.IsSheaf (coherentTopology C) P →
    ∀ (B : C) (α : Type) [inst : Finite α] (X : α → C) (π : (a : α) → X a ⟶ B),
      EffectiveEpiFamily X π → Presieve.IsSheafFor P (Presieve.ofArrows X π)

case mpr
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Precoherent C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
⊢ (∀ (B : C) (α : Type) [inst : Finite α] (X : α → C) (π : (a : α) → X a ⟶ B),
      EffectiveEpiFamily X π → Presieve.IsSheafFor P (Presieve.ofArrows X π)) →
    Presieve.IsSheaf (coherentTopology C) P


E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ s / ball x δ = x⁻¹ • thickening δ s


x y : ℝ≥0
hy : 1 < y
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x ^ (1 / ↑n) ≤ y

case intro
x y : ℝ≥0
hy : 1 < y
m : ℕ
hm : x < (y - 1 + 1) ^ m
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x ^ (1 / ↑n) ≤ y

obtain ⟨m, hm⟩ := add_one_pow_unbounded_of_pos x (tsub_pos_of_lt hy)

case intro
x y : ℝ≥0
hy : 1 < y
m : ℕ
hm : x < y ^ m
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x ^ (1 / ↑n) ≤ y

case intro
x y : ℝ≥0
hy : 1 < y
m : ℕ
hm : x < y ^ m
n : ℕ
hn : n ≥ m + 1
⊢ x ^ (1 / ↑n) ≤ y

refine eventually_atTop.2 ⟨m + 1, fun n hn => ?_⟩

case intro
x y : ℝ≥0
hy : 1 < y
m : ℕ
hm : x < y ^ m
n : ℕ
hn : n ≥ m + 1
⊢ x ^ (↑n)⁻¹ ≤ y

simpa only [NNReal.rpow_inv_le_iff (Nat.cast_pos.2 <| m.succ_pos.trans_le hn),
    NNReal.rpow_natCast] using hm.le.trans (pow_le_pow_right hy.le (m.le_succ.trans hn))


R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B : BilinForm R₁ M₁
b : B.Nondegenerate
φ ψ : M₁ →ₗ[R₁] M₁
h : B.compLeft φ = B.compLeft ψ
⊢ φ = ψ

case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B : BilinForm R₁ M₁
b : B.Nondegenerate
φ ψ : M₁ →ₗ[R₁] M₁
h : B.compLeft φ = B.compLeft ψ
w : M₁
⊢ φ w = ψ w

case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B : BilinForm R₁ M₁
b : B.Nondegenerate
φ ψ : M₁ →ₗ[R₁] M₁
h : B.compLeft φ = B.compLeft ψ
w : M₁
⊢ ∀ (n : M₁), (B (φ w - ψ w)) n = 0

case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B : BilinForm R₁ M₁
b : B.Nondegenerate
φ ψ : M₁ →ₗ[R₁] M₁
h : B.compLeft φ = B.compLeft ψ
w v : M₁
⊢ (B (φ w - ψ w)) v = 0

rw [sub_left, ← compLeft_apply, ← compLeft_apply, ← h, sub_self]


t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁵ : Bitraversable t
β✝ : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulBitraversable t
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
α α' β : Type u
f : α → α'
x : t α β
⊢ tfst (pure ∘ f) x = pure (fst f x)


α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
⊢ Ici a * Ioi b ⊆ Ioi (a * b)

α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
this :
  ∀ (M : Type ?u.12705) (N : Type ?u.12704) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N]
    [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ Ici a * Ioi b ⊆ Ioi (a * b)

case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
this :
  ∀ (M : Type ?u.12705) (N : Type ?u.12704) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N]
    [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
y : α
hya : y ∈ Ici a
z : α
hzb : z ∈ Ioi b
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Ioi (a * b)


C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
inst✝³ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : MonoidalCategory D
inst✝ : BraidedCategory D
X✝ Y✝ : LaxBraidedFunctor C D
α : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ∀ ⦃X Y : CommMon_ C⦄ (f : X ⟶ Y),
    X✝.mapCommMon.map f ≫ (fun A => { hom := α.app A.X, one_hom := ⋯, mul_hom := ⋯ }) Y =
      (fun A => { hom := α.app A.X, one_hom := ⋯, mul_hom := ⋯ }) X ≫ Y✝.mapCommMon.map f

C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
inst✝³ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : MonoidalCategory D
inst✝ : BraidedCategory D
X✝¹ Y✝¹ : LaxBraidedFunctor C D
α : X✝¹ ⟶ Y✝¹
X✝ Y✝ : CommMon_ C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ X✝¹.mapCommMon.map f✝ ≫ (fun A => { hom := α.app A.X, one_hom := ⋯, mul_hom := ⋯ }) Y✝ =
    (fun A => { hom := α.app A.X, one_hom := ⋯, mul_hom := ⋯ }) X✝ ≫ Y✝¹.mapCommMon.map f✝

case h
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
inst✝³ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : MonoidalCategory D
inst✝ : BraidedCategory D
X✝¹ Y✝¹ : LaxBraidedFunctor C D
α : X✝¹ ⟶ Y✝¹
X✝ Y✝ : CommMon_ C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (X✝¹.mapCommMon.map f✝ ≫ (fun A => { hom := α.app A.X, one_hom := ⋯, mul_hom := ⋯ }) Y✝).hom =
    ((fun A => { hom := α.app A.X, one_hom := ⋯, mul_hom := ⋯ }) X✝ ≫ Y✝¹.mapCommMon.map f✝).hom


E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
inst✝ : φ.NeBot
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
⊢ DifferentiableOn ℂ f U

E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
inst✝ : φ.NeBot
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
x : ℂ
hx : x ∈ U
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ f U x

case intro.intro.intro
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
U K✝ : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
inst✝ : φ.NeBot
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
x : ℂ
hx : x ∈ U
K : Set ℂ
hKU : K ⊆ U
hKx : K ∈ 𝓝 x
hK : IsCompact K
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ f U x

obtain ⟨K, ⟨hKx, hK⟩, hKU⟩ := (compact_basis_nhds x).mem_iff.mp (hU.mem_nhds hx)

case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
U K✝ : Set ℂ
z : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
inst✝ : φ.NeBot
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
x : ℂ
hx : x ∈ U
K : Set ℂ
hKU : K ⊆ U
hKx : K ∈ 𝓝 x
hK : IsCompact K
δ : ℝ
left✝¹ : δ > 0
left✝ : cthickening δ K ⊆ U
h1 : TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ f U x

obtain ⟨δ, _, _, h1⟩ := exists_cthickening_tendstoUniformlyOn hf hF hK hU hKU

case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
U K✝ : Set ℂ
z : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
inst✝ : φ.NeBot
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
x : ℂ
hx : x ∈ U
K : Set ℂ
hKU : K ⊆ U
hKx : K ∈ 𝓝 x
hK : IsCompact K
δ : ℝ
left✝¹ : δ > 0
left✝ : cthickening δ K ⊆ U
h1 : TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
h2 : interior K ⊆ U
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ f U x

have h2 : interior K ⊆ U := interior_subset.trans hKU

case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
U K✝ : Set ℂ
z : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
inst✝ : φ.NeBot
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
x : ℂ
hx : x ∈ U
K : Set ℂ
hKU : K ⊆ U
hKx : K ∈ 𝓝 x
hK : IsCompact K
δ : ℝ
left✝¹ : δ > 0
left✝ : cthickening δ K ⊆ U
h1 : TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
h2 : interior K ⊆ U
h3 : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) (interior K)
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ f U x

have h3 : ∀ᶠ n in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) (interior K) := by
    filter_upwards [hF] with n h using h.mono h2

case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
U K✝ : Set ℂ
z : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
inst✝ : φ.NeBot
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
x : ℂ
hx : x ∈ U
K : Set ℂ
hKU : K ⊆ U
hKx : K ∈ 𝓝 x
hK : IsCompact K
δ : ℝ
left✝¹ : δ > 0
left✝ : cthickening δ K ⊆ U
h1 : TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
h2 : interior K ⊆ U
h3 : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) (interior K)
h4 : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ (interior K)
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ f U x

have h4 : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ (interior K) := hf.mono h2

case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
U K✝ : Set ℂ
z : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
inst✝ : φ.NeBot
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
x : ℂ
hx : x ∈ U
K : Set ℂ
hKU : K ⊆ U
hKx : K ∈ 𝓝 x
hK : IsCompact K
δ : ℝ
left✝¹ : δ > 0
left✝ : cthickening δ K ⊆ U
h1 : TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
h2 : interior K ⊆ U
h3 : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) (interior K)
h4 : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ (interior K)
h5 : TendstoLocallyUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ (interior K)
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ f U x

have h5 : TendstoLocallyUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ (interior K) :=
    h1.tendstoLocallyUniformlyOn.mono interior_subset

case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
U K✝ : Set ℂ
z : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
inst✝ : φ.NeBot
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
x : ℂ
hx : x ∈ U
K : Set ℂ
hKU : K ⊆ U
hKx : K ∈ 𝓝 x
hK : IsCompact K
δ : ℝ
left✝¹ : δ > 0
left✝ : cthickening δ K ⊆ U
h1 : TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
h2 : interior K ⊆ U
h3 : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) (interior K)
h4 : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ (interior K)
h5 : TendstoLocallyUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ (interior K)
h6 : ∀ x ∈ interior K, HasDerivAt f (cderiv δ f x) x
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ f U x

have h6 : ∀ x ∈ interior K, HasDerivAt f (cderiv δ f x) x := fun x h =>
    hasDerivAt_of_tendsto_locally_uniformly_on' isOpen_interior h5 h3 (fun _ => h4.tendsto_at) h

case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
U K✝ : Set ℂ
z : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
inst✝ : φ.NeBot
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
x : ℂ
hx : x ∈ U
K : Set ℂ
hKU : K ⊆ U
hKx : K ∈ 𝓝 x
hK : IsCompact K
δ : ℝ
left✝¹ : δ > 0
left✝ : cthickening δ K ⊆ U
h1 : TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
h2 : interior K ⊆ U
h3 : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) (interior K)
h4 : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ (interior K)
h5 : TendstoLocallyUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ (interior K)
h6 : ∀ x ∈ interior K, HasDerivAt f (cderiv δ f x) x
h7 : DifferentiableOn ℂ f (interior K)
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ f U x

have h7 : DifferentiableOn ℂ f (interior K) := fun x hx =>
    (h6 x hx).differentiableAt.differentiableWithinAt

exact (h7.differentiableAt (interior_mem_nhds.mpr hKx)).differentiableWithinAt


α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : E
⊢ indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c = (Lp.const p μ) c

α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : E
⊢ Memℒp.toLp (Set.univ.indicator fun x => c) ⋯ = Memℒp.toLp (fun x => c) ⋯

rw [← Memℒp.toLp_const, indicatorConstLp]

simp only [Set.indicator_univ, Function.const]


K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
⊢ Subtype.val '' ↑(LocalRing.maximalIdeal ↥A) = ↑A.nonunits

case h
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : K
⊢ a ∈ Subtype.val '' ↑(LocalRing.maximalIdeal ↥A) ↔ a ∈ ↑A.nonunits

case h
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : K
⊢ (∃ x ∈ LocalRing.maximalIdeal ↥A, ↑x = a) ↔ ∃ (ha : a ∈ A), ⟨a, ha⟩ ∈ LocalRing.maximalIdeal ↥A

simp only [Set.mem_image, SetLike.mem_coe, mem_nonunits_iff_exists_mem_maximalIdeal]

case h
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : K
⊢ (∃ a_1, ∃ (b : a_1 ∈ ↑A), ⟨a_1, b⟩ ∈ LocalRing.maximalIdeal ↥A ∧ ↑⟨a_1, b⟩ = a) ↔
    ∃ (ha : a ∈ A), ⟨a, ha⟩ ∈ LocalRing.maximalIdeal ↥A

case h
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : K
⊢ (∃ (x : a ∈ ↑A), ⟨a, ⋯⟩ ∈ LocalRing.maximalIdeal ↥A) ↔ ∃ (ha : a ∈ A), ⟨a, ha⟩ ∈ LocalRing.maximalIdeal ↥A


α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
p : α →₀ M
⊢ p ∈ supported M R ↑p.support


x y : ℝ
⊢ ↑x ≤ ↑y ↔ x ≤ y


i j k : ℤ
⊢ i ∣ k → j ∣ k → ↑(i.lcm j) ∣ k

i j k : ℤ
⊢ i ∣ k → j ∣ k → ↑(i.natAbs.lcm j.natAbs) ∣ k

i j k : ℤ
hi : i ∣ k
hj : j ∣ k
⊢ ↑(i.natAbs.lcm j.natAbs) ∣ k

exact natCast_dvd.mpr (Nat.lcm_dvd (natAbs_dvd_natAbs.mpr hi) (natAbs_dvd_natAbs.mpr hj))


R : Type u_1
n✝ x y : ℕ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
n : ℕ
hn : Even n
⊢ multiplicity 2 (x ^ n - y ^ n) + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 n

case inl
R : Type u_1
n✝ x y : ℕ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
n : ℕ
hn : Even n
hyx : y ≤ x
⊢ multiplicity 2 (x ^ n - y ^ n) + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 n

case inr
R : Type u_1
n✝ x y : ℕ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
n : ℕ
hn : Even n
hyx : x ≤ y
⊢ multiplicity 2 (x ^ n - y ^ n) + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 n


R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
n : ℕ
hn : finrank R M = n.succ
⊢ 0 < finrank ?m.344409 M

R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
n : ℕ
hn : finrank R M = n.succ
⊢ 0 < n.succ


C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c d : C
f : c ⟶ d
⊢ Groupoid.inv f ∈ S.arrows d c ↔ f ∈ S.arrows c d

case mp
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c d : C
f : c ⟶ d
⊢ Groupoid.inv f ∈ S.arrows d c → f ∈ S.arrows c d

case mpr
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c d : C
f : c ⟶ d
⊢ f ∈ S.arrows c d → Groupoid.inv f ∈ S.arrows d c


𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
⊢ Tendsto (fun x => eval x P) atTop atBot ↔ 0 < P.degree ∧ P.leadingCoeff ≤ 0

simp only [← tendsto_neg_atTop_iff, ← eval_neg, tendsto_atTop_iff_leadingCoeff_nonneg,
    degree_neg, leadingCoeff_neg, neg_nonneg]


X✝ : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X✝))
X : LocallyRingedSpace
R : CommRingCat
f : R ⟶ Γ.obj (op X)
β : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R
w : X.toΓSpec.val.base ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base = β.val.base
h : ∀ (r : ↑R), f ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op = toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ β.val.c.app (op (basicOpen r))
⊢ X.toΓSpec ≫ Spec.locallyRingedSpaceMap f = β

case h
X✝ : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X✝))
X : LocallyRingedSpace
R : CommRingCat
f : R ⟶ Γ.obj (op X)
β : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R
w : X.toΓSpec.val.base ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base = β.val.base
h : ∀ (r : ↑R), f ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op = toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ β.val.c.app (op (basicOpen r))
⊢ (X.toΓSpec ≫ Spec.locallyRingedSpaceMap f).val = β.val

case h
X✝ : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X✝))
X : LocallyRingedSpace
R : CommRingCat
f : R ⟶ Γ.obj (op X)
β : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R
w : X.toΓSpec.val.base ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base = β.val.base
h : ∀ (r : ↑R), f ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op = toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ β.val.c.app (op (basicOpen r))
⊢ ∀ (r : ↑R),
    let U := basicOpen r;
    (toOpen (↑R) U ≫ (X.toΓSpec ≫ Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.c.app (op U)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) =
      toOpen (↑R) U ≫ β.val.c.app (op U)

case h
X✝ : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X✝))
X : LocallyRingedSpace
R : CommRingCat
f : R ⟶ Γ.obj (op X)
β : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R
w : X.toΓSpec.val.base ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base = β.val.base
h : ∀ (r : ↑R), f ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op = toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ β.val.c.app (op (basicOpen r))
r : ↑R
U : Opens (PrimeSpectrum ↑R) := basicOpen r
⊢ (toOpen (↑R) U ≫ (X.toΓSpec ≫ Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.c.app (op U)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) =
    toOpen (↑R) U ≫ β.val.c.app (op U)

case h
X✝ : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X✝))
X : LocallyRingedSpace
R : CommRingCat
f : R ⟶ Γ.obj (op X)
β : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R
w : X.toΓSpec.val.base ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base = β.val.base
h : ∀ (r : ↑R), f ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op = toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ β.val.c.app (op (basicOpen r))
r : ↑R
U : Opens (PrimeSpectrum ↑R) := basicOpen r
⊢ (toOpen (↑R) U ≫
        (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.c.app (op U) ≫
          X.toΓSpec.val.c.app (op ((Opens.map (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base).obj (unop (op U))))) ≫
      X.presheaf.map (eqToHom ⋯) =
    toOpen (↑R) U ≫ β.val.c.app (op U)

case h
X✝ : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X✝))
X : LocallyRingedSpace
R : CommRingCat
f : R ⟶ Γ.obj (op X)
β : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R
w : X.toΓSpec.val.base ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base = β.val.base
h : ∀ (r : ↑R), f ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op = toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ β.val.c.app (op (basicOpen r))
r : ↑R
U : Opens (PrimeSpectrum ↑R) := basicOpen r
⊢ (CommRingCat.ofHom f ≫
        toOpen (↑(Γ.obj (op X))) ((Opens.comap (PrimeSpectrum.comap f)) U) ≫
          X.toΓSpec.val.c.app (op ((Opens.map (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base).obj (unop (op U))))) ≫
      X.presheaf.map (eqToHom ⋯) =
    toOpen (↑R) U ≫ β.val.c.app (op U)

case h
X✝ : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X✝))
X : LocallyRingedSpace
R : CommRingCat
f : R ⟶ Γ.obj (op X)
β : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R
w : X.toΓSpec.val.base ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base = β.val.base
h : ∀ (r : ↑R), f ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op = toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ β.val.c.app (op (basicOpen r))
r : ↑R
U : Opens (PrimeSpectrum ↑R) := basicOpen r
⊢ CommRingCat.ofHom f ≫
      (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) ((Opens.comap (PrimeSpectrum.comap f)) U) ≫
          X.toΓSpec.val.c.app (op ((Opens.map (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base).obj (unop (op U))))) ≫
        X.presheaf.map (eqToHom ⋯) =
    toOpen (↑R) U ≫ β.val.c.app (op U)

case h
X✝ : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X✝))
X : LocallyRingedSpace
R : CommRingCat
f : R ⟶ Γ.obj (op X)
β : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R
w : X.toΓSpec.val.base ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base = β.val.base
h : ∀ (r : ↑R), f ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op = toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ β.val.c.app (op (basicOpen r))
r : ↑R
U : Opens (PrimeSpectrum ↑R) := basicOpen r
⊢ CommRingCat.ofHom f ≫ X.presheaf.map ((X.toΓSpecMapBasicOpen (f r)).leTop.op ≫ eqToHom ⋯) =
    toOpen (↑R) U ≫ β.val.c.app (op U)

erw [toΓSpecSheafedSpace_app_spec, ← X.presheaf.map_comp]


X : Scheme
⊢ Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤ = (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).hom

X : Scheme
this :
  Scheme.Γ.rightOp.map (adjunction.unit.app X) ≫ adjunction.counit.app (Scheme.Γ.rightOp.obj X) =
    𝟙 (Scheme.Γ.rightOp.obj X)
⊢ Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤ = (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).hom

have := ΓSpec.adjunction.left_triangle_components X

X : Scheme
this : (Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤).op ≫ (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).inv.op = 𝟙 (op Γ(X, ⊤))
⊢ Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤ = (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).hom

X : Scheme
this : (Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤).op = 𝟙 (op Γ(X, ⊤)) ≫ inv (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).inv.op
⊢ Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤ = (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).hom

X : Scheme
this : (Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤).op = inv (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).inv.op
⊢ Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤ = (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).hom

simp only [adjunction_counit_app, Functor.id_obj, Functor.comp_obj, Functor.rightOp_obj,
    Scheme.Γ_obj, Category.id_comp] at this

rw [← Quiver.Hom.op_inj.eq_iff, this, ← op_inv, IsIso.Iso.inv_inv]


X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ x₂ x₃ : X
p q : Path x₀ x₁
F : p.Homotopy q
⊢ ∀ (x : ↑I), { toFun := fun x => F (x.1, σ x.2), continuous_toFun := ⋯ }.toFun (0, x) = p.symm.toContinuousMap x

X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ x₂ x₃ : X
p q : Path x₀ x₁
F : p.Homotopy q
⊢ ∀ (x : ↑I), { toFun := fun x => F (x.1, σ x.2), continuous_toFun := ⋯ }.toFun (1, x) = q.symm.toContinuousMap x

X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ x₂ x₃ : X
p q : Path x₀ x₁
F : p.Homotopy q
t x : ↑I
hx : x ∈ {0, 1}
⊢ {
        toFun := fun x =>
          { toFun := fun x => F (x.1, σ x.2), continuous_toFun := ⋯, map_zero_left := ⋯, map_one_left := ⋯ }.toFun
            (t, x),
        continuous_toFun := ⋯ }
      x =
    p.symm.toContinuousMap x

case inl
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ x₂ x₃ : X
p q : Path x₀ x₁
F : p.Homotopy q
t x : ↑I
hx : x = 0
⊢ {
        toFun := fun x =>
          { toFun := fun x => F (x.1, σ x.2), continuous_toFun := ⋯, map_zero_left := ⋯, map_one_left := ⋯ }.toFun
            (t, x),
        continuous_toFun := ⋯ }
      x =
    p.symm.toContinuousMap x

case inr
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ x₂ x₃ : X
p q : Path x₀ x₁
F : p.Homotopy q
t x : ↑I
hx : x ∈ {1}
⊢ {
        toFun := fun x =>
          { toFun := fun x => F (x.1, σ x.2), continuous_toFun := ⋯, map_zero_left := ⋯, map_one_left := ⋯ }.toFun
            (t, x),
        continuous_toFun := ⋯ }
      x =
    p.symm.toContinuousMap x


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f : β → ℝ≥0∞
μ : Measure β
a : α
s : Set β
⊢ ∫⁻ (x : β) in s, f x ∂(const α μ) a = ∫⁻ (x : β) in s, f x ∂μ


R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
⊢ mk I = 1 ↔ (↑↑I).IsPrincipal

R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
⊢ (equiv K) (mk I) = (equiv K) 1 ↔ (↑↑I).IsPrincipal

rw [← (ClassGroup.equiv K).injective.eq_iff]

R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
⊢ (∃ x, spanSingleton R⁰ ↑x = ↑I) ↔ (↑↑I).IsPrincipal

simp only [equiv_mk, canonicalEquiv_self, RingEquiv.coe_mulEquiv_refl, QuotientGroup.mk'_apply,
    _root_.map_one, QuotientGroup.eq_one_iff, MonoidHom.mem_range, Units.ext_iff,
    coe_toPrincipalIdeal, coe_mapEquiv, MulEquiv.refl_apply]

R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
⊢ (↑↑I).IsPrincipal → ∃ x, spanSingleton R⁰ ↑x = ↑I

refine ⟨fun ⟨x, hx⟩ => ⟨⟨x, by rw [← hx, coe_spanSingleton]⟩⟩, ?_⟩

R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
hI : (↑↑I).IsPrincipal
⊢ ∃ x, spanSingleton R⁰ ↑x = ↑I

case intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
hI : (↑↑I).IsPrincipal
x : K
hx : ↑↑I = Submodule.span R {x}
⊢ ∃ x, spanSingleton R⁰ ↑x = ↑I

obtain ⟨x, hx⟩ := @Submodule.IsPrincipal.principal _ _ _ _ _ _ hI

case intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
hI : (↑↑I).IsPrincipal
x : K
hx : ↑↑I = Submodule.span R {x}
hx' : ↑I = spanSingleton R⁰ x
⊢ ∃ x, spanSingleton R⁰ ↑x = ↑I

have hx' : (I : FractionalIdeal R⁰ K) = spanSingleton R⁰ x := by
    apply Subtype.coe_injective
    simp only [val_eq_coe, hx, coe_spanSingleton]

case intro.refine_1
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
hI : (↑↑I).IsPrincipal
x : K
hx : ↑↑I = Submodule.span R {x}
hx' : ↑I = spanSingleton R⁰ x
⊢ x ≠ 0

case intro.refine_2
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
hI : (↑↑I).IsPrincipal
x : K
hx : ↑↑I = Submodule.span R {x}
hx' : ↑I = spanSingleton R⁰ x
⊢ spanSingleton R⁰ ↑(Units.mk0 x ?intro.refine_1) = ↑I


α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Group β
f : α → β
hf✝ hf : IsGroupHom f
a : α
⊢ f a⁻¹ * f a = 1

rw [← hf.map_mul, inv_mul_self, hf.map_one]


C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
E : Type u₃
ℰ : Category.{v₃, u₃} E
H : D ⥤ E
I : E ⥤ D
adj₁ : F ⊣ G
adj₂ : H ⊣ I
X : C
⊢ (adj₁.comp adj₂).unit.app X = adj₁.unit.app X ≫ G.map (adj₂.unit.app (F.obj X))


Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
⊢ condCount ∅ = 0


ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
I J : WithBot (Box ι)
⊢ ↑(I ⊓ J) = ↑I ∩ ↑J

case bot
ι : Type u_1
I J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
J : WithBot (Box ι)
⊢ ↑(⊥ ⊓ J) = ↑⊥ ∩ ↑J

case coe
ι : Type u_1
I J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
J : WithBot (Box ι)
a✝ : Box ι
⊢ ↑(↑a✝ ⊓ J) = ↑↑a✝ ∩ ↑J

case coe.bot
ι : Type u_1
I J : Box ι
x y : ι → ℝ
a✝ : Box ι
⊢ ↑(↑a✝ ⊓ ⊥) = ↑↑a✝ ∩ ↑⊥

case coe.coe
ι : Type u_1
I J : Box ι
x y : ι → ℝ
a✝¹ a✝ : Box ι
⊢ ↑(↑a✝¹ ⊓ ↑a✝) = ↑↑a✝¹ ∩ ↑↑a✝

case coe.coe
ι : Type u_1
I J : Box ι
x y : ι → ℝ
a✝¹ a✝ : Box ι
⊢ ↑(mk' (a✝¹.lower ⊔ a✝.lower) (a✝¹.upper ⊓ a✝.upper)) = ↑↑a✝¹ ∩ ↑↑a✝

change ((mk' _ _ : WithBot (Box ι)) : Set (ι → ℝ)) = _

simp only [coe_eq_pi, ← pi_inter_distrib, Ioc_inter_Ioc, Pi.sup_apply, Pi.inf_apply, coe_mk',
    coe_coe]


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
i✝ : α → β
di : DenseInducing i✝
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
inst✝ : TopologicalSpace γ
i : α → β
c : Continuous i
dense : ∀ (x : β), x ∈ closure (range i)
H : ∀ (a : α), ∀ s ∈ 𝓝 a, ∃ t ∈ 𝓝 (i a), ∀ (b : α), i b ∈ t → b ∈ s
a : α
⊢ comap i (𝓝 (i a)) ≤ 𝓝 a


C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
J : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.5761, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.5765, u_3} E
X Y : GradedObject J C
e : X ≅ Y
j : J
⊢ e.hom j ≫ e.inv j = 𝟙 (X j)

rw [← GradedObject.categoryOfGradedObjects_comp, e.hom_inv_id,
    GradedObject.categoryOfGradedObjects_id]


ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α
x✝ : b ≠ a
h : b ≠ a := x✝
⊢ indexOf a (b :: l) = (indexOf a l).succ

simp only [indexOf, findIdx_cons, Bool.cond_eq_ite, beq_iff_eq, h, ite_false]


C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y : PresheafedSpace C
α : X ⟶ Y
U : Opens ↑↑Y
x : ↥((Opens.map α.base).obj U)
⊢ Y.presheaf.germ ⟨α.base ↑x, ⋯⟩ ≫ Hom.stalkMap α ↑x = α.c.app (op U) ≫ X.presheaf.germ x

rw [Hom.stalkMap, stalkFunctor_map_germ_assoc, stalkPushforward_germ]


a : UnitAddCircle
r : ℝ
⊢ (fun x => (ofReal' ∘ oddKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r

a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : oddKernel a =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
⊢ (fun x => (ofReal' ∘ oddKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r

let ⟨v, hv, hv'⟩ := isBigO_atTop_oddKernel a

a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : (fun x => ‖oddKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
⊢ (fun x => ‖(ofReal' ∘ oddKernel a) x - 0‖) =O[atTop] fun x => x ^ r

a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : (fun x => ‖oddKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
⊢ (fun x => ‖oddKernel a x‖) =O[atTop] fun x => x ^ r

simp_rw [Function.comp_def, sub_zero, norm_real]

exact hv'.trans (isLittleO_exp_neg_mul_rpow_atTop hv _).isBigO

a : UnitAddCircle
r : ℝ
⊢ (fun x => (ofReal' ∘ sinKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r

a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : sinKernel a =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
⊢ (fun x => (ofReal' ∘ sinKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r

let ⟨v, hv, hv'⟩ := isBigO_atTop_sinKernel a

a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : (fun x => ‖sinKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
⊢ (fun x => ‖(ofReal' ∘ sinKernel a) x - 0‖) =O[atTop] fun x => x ^ r

a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : (fun x => ‖sinKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
⊢ (fun x => ‖sinKernel a x‖) =O[atTop] fun x => x ^ r

a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
⊢ (ofReal' ∘ oddKernel a) (1 / x) = (1 * ↑(x ^ (3 / 2))) • (ofReal' ∘ sinKernel a) x

simp_rw [Function.comp_apply, one_mul, smul_eq_mul, ← ofReal_mul,
    oddKernel_functional_equation a, one_div x, one_div x⁻¹, inv_rpow (le_of_lt hx), one_div,
    inv_inv]


m n : ℤ
hn : n ≠ 0
⊢ (↑m / ↑n).den = 1 ↔ n ∣ m

m n : ℤ
hn : ↑n ≠ 0
⊢ (↑m / ↑n).den = 1 ↔ n ∣ m

replace hn : (n : ℚ) ≠ 0 := num_ne_zero.mp hn

case mp
m n : ℤ
hn : ↑n ≠ 0
⊢ (↑m / ↑n).den = 1 → n ∣ m

case mpr
m n : ℤ
hn : ↑n ≠ 0
⊢ n ∣ m → (↑m / ↑n).den = 1


S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
c c' : PushoutCocone f g
e : c ≅ c'
x₁ : X₁
x₂ : X₂
h : c.inl x₁ = c.inr x₂
⊢ c'.inl x₁ = c'.inr x₂

case h.e'_2
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
c c' : PushoutCocone f g
e : c ≅ c'
x₁ : X₁
x₂ : X₂
h : c.inl x₁ = c.inr x₂
⊢ c'.inl x₁ = e.hom.hom (c.inl x₁)

case h.e'_3
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
c c' : PushoutCocone f g
e : c ≅ c'
x₁ : X₁
x₂ : X₂
h : c.inl x₁ = c.inr x₂
⊢ c'.inr x₂ = e.hom.hom (c.inr x₂)


d m n : Nat
dgt1 : 1 < d
Hm : d ∣ m
Hn : d ∣ n
co : m.Coprime n
⊢ d ∣ 1

d m n : Nat
dgt1 : 1 < d
Hm : d ∣ m
Hn : d ∣ n
co : m.Coprime n
⊢ d ∣ m.gcd n


p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
⊢ W_ R 1 = C ↑p * X 1 + X 0 ^ p

simp only [wittPolynomial_eq_sum_C_mul_X_pow, sum_range_succ_comm, range_one, sum_singleton,
    one_mul, pow_one, C_1, pow_zero, tsub_self, tsub_zero]


C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{w, u₂} D
F✝ : C ⥤ D
A✝ A' B B' : C
inst✝⁵ : HasBinaryCoproduct A✝ B
inst✝⁴ : HasBinaryCoproduct A' B'
inst✝³ : HasBinaryCoproduct (F✝.obj A✝) (F✝.obj B)
inst✝² : HasBinaryCoproduct (F✝.obj A') (F✝.obj B')
inst✝¹ : HasBinaryCoproducts C
inst✝ : HasBinaryCoproducts D
F : C ⥤ D
A f : C
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ (f_1 : f ⟶ Y),
    (F ⋙ coprod.functor.obj (F.obj A)).map f_1 ≫ (fun B => coprodComparison F A B) Y =
      (fun B => coprodComparison F A B) f ≫ (coprod.functor.obj A ⋙ F).map f_1


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β
⊢ f ⊓ g ≤ f

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β
⊢ ↑(f ⊓ g) ≤ᶠ[ae μ] ↑f

case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β
a✝ : α
ha : ↑(f ⊓ g) a✝ = ↑f a✝ ⊓ ↑g a✝
⊢ ↑(f ⊓ g) a✝ ≤ ↑f a✝

filter_upwards [coeFn_inf f g] with _ ha

case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β
a✝ : α
ha : ↑(f ⊓ g) a✝ = ↑f a✝ ⊓ ↑g a✝
⊢ ↑f a✝ ⊓ ↑g a✝ ≤ ↑f a✝


R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : MapsTo (⇑e) Φ Φ
⊢ IsOfFinOrder e

R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
⊢ IsOfFinOrder e

replace he : BijOn e Φ Φ := (hΦ₁.injOn_iff_bijOn_of_mapsTo he).mp e.injective.injOn

R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
⊢ IsOfFinOrder e

R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
⊢ IsOfFinOrder e

have : Finite Φ := finite_coe_iff.mpr hΦ₁

case intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
⊢ IsOfFinOrder e

obtain ⟨k, hk₀, hk⟩ := isOfFinOrder_of_finite e'

case intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
⊢ IsPeriodicPt (fun x => e * x) k 1

case intro.intro.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
⊢ ((fun x => e * x)^[k] 1) m = 1 m

case intro.intro.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
⊢ ((fun x => e * x)^[k] 1) m = 1 m

have hm : m ∈ span R Φ := hΦ₂ ▸ Submodule.mem_top

case intro.intro.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
⊢ (e ^ k) m = m

simp only [mul_left_iterate, mul_one, LinearEquiv.coe_one, id_eq]

case intro.intro.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ
⊢ (e ^ k) x = x

refine Submodule.span_induction hm (fun x hx ↦ ?_) (by simp)
    (fun x y hx hy ↦ by simp [map_add, hx, hy]) (fun t x hx ↦ by simp [map_smul, hx])

case intro.intro.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ
⊢ ↑((MapsTo.restrict (⇑e) Φ Φ ⋯)^[k] ⟨x, hx⟩) = x

rw [LinearEquiv.pow_apply, ← he.1.coe_iterate_restrict ⟨x, hx⟩ k]

case intro.intro.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ
hk : e' ^ k = 1
⊢ ↑((MapsTo.restrict (⇑e) Φ Φ ⋯)^[k] ⟨x, hx⟩) = x

replace hk : (e') ^ k = 1 := by simpa [IsPeriodicPt, IsFixedPt] using hk

case intro.intro.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ
hk : (e' ^ k) ⟨x, hx⟩ = 1 ⟨x, hx⟩
⊢ ↑((MapsTo.restrict (⇑e) Φ Φ ⋯)^[k] ⟨x, hx⟩) = x

replace hk := Equiv.congr_fun hk ⟨x, hx⟩

rwa [Equiv.Perm.coe_one, id_eq, Subtype.ext_iff, Equiv.Perm.coe_pow] at hk


R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
⊢ (aeval pb.gen) pb.minpolyGen = 0

R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
⊢ pb.gen ^ pb.dim - ∑ x : Fin pb.dim, (pb.basis.repr (pb.gen ^ pb.dim)) x • pb.gen ^ ↑x = 0

simp_rw [minpolyGen, map_sub, map_sum, map_mul, map_pow, aeval_C, ← Algebra.smul_def, aeval_X]

R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
⊢ (Finsupp.total (Fin pb.dim) S A ⇑pb.basis) (pb.basis.repr (pb.gen ^ pb.dim)) =
    ∑ x : Fin pb.dim, (pb.basis.repr (pb.gen ^ pb.dim)) x • pb.gen ^ ↑x

refine sub_eq_zero.mpr ((pb.basis.total_repr (pb.gen ^ pb.dim)).symm.trans ?_)

rw [Finsupp.total_apply, Finsupp.sum_fintype] <;>
    simp only [pb.coe_basis, zero_smul, eq_self_iff_true, imp_true_iff]


p : Char → Bool
s : String
⊢ s.revFind p = Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x }) (List.dropWhile (fun x => !p x) s.data.reverse).tail?

simpa using revFindAux_of_valid p s.1.reverse []


α✝ : Type u_1
l₁ : List α✝
a : α✝
l₂ : List α✝
⊢ (a :: l₂).Disjoint l₁ ↔ ¬a ∈ l₁ ∧ l₁.Disjoint l₂

α✝ : Type u_1
l₁ : List α✝
a : α✝
l₂ : List α✝
⊢ ¬a ∈ l₁ ∧ l₂.Disjoint l₁ ↔ ¬a ∈ l₁ ∧ l₁.Disjoint l₂


k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1
⊢ lineMap p₀ p₁ = (lineMap p₁ p₀).comp (lineMap 1 0)

k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1
⊢ lineMap p₀ p₁ = lineMap ((lineMap p₁ p₀) 1) ((lineMap p₁ p₀) 0)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → LowerSet α
⊢ a ∈ ⨆ i, ⨆ j, f i j ↔ ∃ i j, a ∈ f i j


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g✝ : α → ℝ≥0∞
f g : ℕ → ℝ≥0∞
h₁ : ∑' (i : ℕ), g i ≠ ⊤
h₂ : g ≤ f
this : ∀ (i : ℕ), f i - g i + g i = f i
⊢ ∑' (i : ℕ), (f i - g i) + ∑' (i : ℕ), g i = ∑' (i : ℕ), f i


motive : Nat → Nat → Sort u_1
zero_zero : motive 0 0
zero_succ : (n : Nat) → motive 0 n → motive 0 (n + 1)
succ_zero : (m : Nat) → motive m 0 → motive (m + 1) 0
succ_succ : (m n : Nat) → motive m n → motive (m + 1) (n + 1)
n : Nat
⊢ Nat.recDiag zero_zero zero_succ succ_zero succ_succ 0 (n + 1) =
    zero_succ n (Nat.recDiag zero_zero zero_succ succ_zero succ_succ 0 n)

motive : Nat → Nat → Sort u_1
zero_zero : motive 0 0
zero_succ : (n : Nat) → motive 0 n → motive 0 (n + 1)
succ_zero : (m : Nat) → motive m 0 → motive (m + 1) 0
succ_succ : (m n : Nat) → motive m n → motive (m + 1) (n + 1)
n : Nat
⊢ recDiag.left zero_zero zero_succ (n + 1) = zero_succ n (recDiag.left zero_zero zero_succ n)


p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
heq : q = r
⊢ const (padicNorm p) q ≈ const (padicNorm p) r