V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
v y : V
w : W
⊢ (fderiv ℝ (fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))) v) y = -2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * ↑(𝐞 (-(L v) w))

V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
v y : V
w : W
⊢ 2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w)) * ↑((L y) w) = 2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * ↑(𝐞 (-(L v) w))

simp only [(hasFDerivAt_fourierChar_neg_bilinear_left L v w).fderiv, neg_mul,
    ContinuousLinearMap.coe_smul', ContinuousLinearMap.coe_comp', Pi.smul_apply,
    Function.comp_apply, ContinuousLinearMap.flip_apply, ofRealCLM_apply, smul_eq_mul, neg_inj]


R : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne R
⊢ ↑1 = 1

case h
R : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne R
n : ℕ
⊢ ↑1 n = 1 n


G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
K₁ K₂ : Compacts G
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) (K₁ ⊔ K₂) ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₁ + (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₂

G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
K₁ K₂ : Compacts G
⊢ ↑(μ.toFun (K₁ ⊔ K₂)) ≤ ↑(μ.toFun K₁) + ↑(μ.toFun K₂)

G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
K₁ K₂ : Compacts G
⊢ μ.toFun (K₁ ⊔ K₂) ≤ μ.toFun K₁ + μ.toFun K₂


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : Countable β
x✝ : MeasurableSpace γ
f : α × β → γ
hf : ∀ (y : β), Measurable fun x => f (x, y)
h'f : ∀ (y y' : β) (x : α), y' ∈ measurableAtom y → f (x, y') = f (x, y)
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' s)

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : Countable β
x✝ : MeasurableSpace γ
f : α × β → γ
hf : ∀ (y : β), Measurable fun x => f (x, y)
h'f : ∀ (y y' : β) (x : α), y' ∈ measurableAtom y → f (x, y') = f (x, y)
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
this : f ⁻¹' s = ⋃ y, ((fun x => f (x, y)) ⁻¹' s) ×ˢ measurableAtom y
⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' s)

have : f ⁻¹' s = ⋃ y, ((fun x => f (x, y)) ⁻¹' s) ×ˢ (measurableAtom y : Set β) := by
    ext1 ⟨x, y⟩
    simp only [mem_preimage, mem_iUnion, mem_prod]
    refine ⟨fun h ↦ ⟨y, h, mem_measurableAtom_self y⟩, ?_⟩
    rintro ⟨y', hy's, hy'⟩
    rwa [h'f y' y x hy']

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : Countable β
x✝ : MeasurableSpace γ
f : α × β → γ
hf : ∀ (y : β), Measurable fun x => f (x, y)
h'f : ∀ (y y' : β) (x : α), y' ∈ measurableAtom y → f (x, y') = f (x, y)
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
this : f ⁻¹' s = ⋃ y, ((fun x => f (x, y)) ⁻¹' s) ×ˢ measurableAtom y
⊢ MeasurableSet (⋃ y, ((fun x => f (x, y)) ⁻¹' s) ×ˢ measurableAtom y)

exact .iUnion (fun y ↦ (hf y hs).prod (.measurableAtom_of_countable y))


C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
⊢ (triangleOpEquivalence C).functor.obj (Opposite.op T) ∈ distinguishedTriangles

C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
⊢ ∃ T',
    ∃ (_ : T' ∈ distinguishedTriangles),
      Nonempty
        ((triangleOpEquivalence C).functor.obj (Opposite.op T) ≅ (triangleOpEquivalence C).functor.obj (Opposite.op T'))


E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
⊢ ContMDiff 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) ⊤ fun x => -x

case hf
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
⊢ ContMDiff 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) ⊤ fun x => -↑x

E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
⊢ ContMDiff 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) ⊤ Subtype.val


k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
h : i ∈ s
⊢ ∑ j ∈ s, affineCombinationSingleWeights k i j = 1

k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
h : i ∈ s
⊢ ∑ j ∈ s, affineCombinationSingleWeights k i j = affineCombinationSingleWeights k i i

rw [← affineCombinationSingleWeights_apply_self k i]

exact sum_eq_single_of_mem i h fun j _ hj => affineCombinationSingleWeights_apply_of_ne k hj


M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝ : Semigroup G
a b c : G
h : SemiconjBy a b c
j : G
⊢ (fun x => x * a) ((fun x => x * c) j) = (fun x => x * b) ((fun x => x * a) j)


a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, deriv g x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[<] a) l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l

a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, deriv g x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[<] a) l
hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ g x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l

have hdg : ∀ᶠ x in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ g x :=
    hg'.mp (eventually_of_forall fun _ hg' =>
      by_contradiction fun h => hg' (deriv_zero_of_not_differentiableAt h))

a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, deriv g x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[<] a) l
hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ g x
hdf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt f (deriv f x) x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l

have hdf' : ∀ᶠ x in 𝓝[<] a, HasDerivAt f (deriv f x) x :=
    hdf.mp (eventually_of_forall fun _ => DifferentiableAt.hasDerivAt)

a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, deriv g x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[<] a) l
hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ g x
hdf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt f (deriv f x) x
hdg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt g (deriv g x) x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l

have hdg' : ∀ᶠ x in 𝓝[<] a, HasDerivAt g (deriv g x) x :=
    hdg.mp (eventually_of_forall fun _ => DifferentiableAt.hasDerivAt)

exact HasDerivAt.lhopital_zero_nhds_left hdf' hdg' hg' hfa hga hdiv


p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R
⊢ WittVector.ghostFun 0 = 0


R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
i j : σ
f : MvPolynomial σ R
h : i ≠ j
⊢ degreeOf i (f * X j) = degreeOf i f

classical
  repeat' rw [degreeOf_eq_sup (R := R) i]
  rw [support_mul_X]
  simp only [Finset.sup_map]
  congr
  ext
  simp only [Finsupp.single, Nat.one_ne_zero, add_right_eq_self, addRightEmbedding_apply, coe_mk,
    Pi.add_apply, comp_apply, ite_eq_right_iff, Finsupp.coe_add, Pi.single_eq_of_ne h]


R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
n : ℕ
e : Fin n → S
he : OrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin n), e i ∈ f.range
⊢ ∃ e', OrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e

case zero
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e : Fin 0 → S
he : OrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin 0), e i ∈ f.range
⊢ ∃ e', OrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e

case succ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
n : ℕ
IH :
  ∀ {e : Fin n → S},
    OrthogonalIdempotents e → (∀ (i : Fin n), e i ∈ f.range) → ∃ e', OrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
e : Fin (n + 1) → S
he : OrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin (n + 1)), e i ∈ f.range
⊢ ∃ e', OrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e


C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G : C ⥤ Type w
⊢ (binaryProductIso F G).inv ≫ Limits.prod.snd = prod.snd


a b c : ℕ
⊢ a ⊔ b + 1 - a ⊓ b = (↑b - ↑a).natAbs + 1

rw [← Int.natCast_inj, sup_eq_max, inf_eq_min, Int.ofNat_sub] <;> omega


R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : R
hab : IsCoprime a b
j : Fin 2
⊢ ∃ g, ↑g 0 j = a ∧ ↑g 1 j = b

case intro.intro
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : R
j : Fin 2
u v : R
h : u * a + v * b = 1
⊢ ∃ g, ↑g 0 j = a ∧ ↑g 1 j = b


cf cg : Code
a : ℕ
⊢ (cf.prec cg).eval (Nat.pair a 0) = cf.eval a

cf cg : Code
a : ℕ
⊢ Nat.rec (cf.eval (a, 0).1)
      (fun y IH => do
        let i ← IH
        cg.eval (Nat.pair (a, 0).1 (Nat.pair y i)))
      (a, 0).2 =
    cf.eval a

rw [eval, Nat.unpaired, Nat.unpair_pair]

cf cg : Code
a : ℕ
⊢ Nat.rec (cf.eval a)
      (fun y IH => do
        let i ← IH
        cg.eval (Nat.pair a (Nat.pair y i)))
      0 =
    cf.eval a

simp (config := { Lean.Meta.Simp.neutralConfig with proj := true }) only []


α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∀ᶠ (x : α) in l, g'' x ≠ 0
⊢ f =O[l] g'' ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f x‖ / ‖g'' x‖

α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∀ᶠ (x : α) in l, g'' x ≠ 0
⊢ (∃ c, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g'' x‖) ↔ ∃ b, ∀ᶠ (a : α) in l, ‖f a‖ / ‖g'' a‖ ≤ b

simp only [isBigO_iff, IsBoundedUnder, IsBounded, eventually_map]

exact
    exists_congr fun c =>
      eventually_congr <| h.mono fun x hx => (div_le_iff <| norm_pos_iff.2 hx).symm


α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝³ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f : ℝ → V
s : Set ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f s
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict s, DifferentiableWithinAt ℝ f s x

α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝³ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f : ℝ → V
s : Set ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f s
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x


p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x✝ y : 𝕎 R
n : ℕ
x : 𝕎 R
⊢ mapFun (⇑f) (n • x) = n • mapFun (⇑f) x


R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P
⊢ midpoint R x y = y ↔ x = y

rw [midpoint_comm, midpoint_eq_left_iff, eq_comm]


Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → E
ℙ : Measure Ω
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
⊢ Measurable (pdf X ℙ μ)


G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : Group G
a b : G
h : Commute a b
⊢ a * b * a⁻¹ = b


G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul αᵐᵒᵖ α
s t : Set α
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (s * t)

G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul αᵐᵒᵖ α
s t : Set α
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (⋃ a ∈ t, op a • s)

exact isOpen_biUnion fun a _ => hs.smul _


G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
⊢ (𝓝 1).HasBasis (fun V => V ∈ B) id

G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
⊢ toFilterBasis.filter.HasBasis (fun V => V ∈ B) id


C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T T₁ T₂ : Monad C
h : T₁ ≅ T₂
⊢ 𝟙 T₁ = h.hom ≫ h.inv

C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T T₁ T₂ : Monad C
h : T₁ ≅ T₂
⊢ h.inv ≫ h.hom = 𝟙 T₂


a : ℝ
⊢ frontier {z | z.re ≤ a} = {z | z.re = a}

simpa only [frontier_Iic] using frontier_preimage_re (Iic a)


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Group α
a : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a⁻ᵐ = 1 ↔ 1 ≤ a


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.16556, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.16560, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
p q : ℤ
hpq : q + 1 = p
⊢ p + -1 = q

C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.16560, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
p q : ℤ
hpq : q + 1 = p
⊢ (inl φ).v p q ⋯ ≫ (↑(fst φ)).v q p hpq = 𝟙 (F.X p)


R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a✝) _auto✝
f : R → R
a : A
hf : ¬ContinuousOn f (σₙ R a)
⊢ cfcₙ f a = 0

rw [cfcₙ_def, dif_neg (not_and_of_not_right _ (not_and_of_not_left _ hf))]


C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ Type w
F₁ F₂ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
α : F₁ ⟶ F₂
⊢ (map α).op ⋙ toCostructuredArrow F₂ = toCostructuredArrow F₁ ⋙ CostructuredArrow.map α

case h_obj
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ Type w
F₁ F₂ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
α : F₁ ⟶ F₂
⊢ ∀ (X : F₁.Elementsᵒᵖ),
    ((map α).op ⋙ toCostructuredArrow F₂).obj X = (toCostructuredArrow F₁ ⋙ CostructuredArrow.map α).obj X

case h_map
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ Type w
F₁ F₂ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
α : F₁ ⟶ F₂
⊢ autoParam
    (∀ (X Y : F₁.Elementsᵒᵖ) (f : X ⟶ Y),
      ((map α).op ⋙ toCostructuredArrow F₂).map f =
        eqToHom ⋯ ≫ (toCostructuredArrow F₁ ⋙ CostructuredArrow.map α).map f ≫ eqToHom ⋯)
    _auto✝


u v : ℤ
hu : IsUnit u
hv : IsUnit v
⊢ u ≠ v ↔ u = -v

obtain rfl | rfl := isUnit_eq_one_or hu <;> obtain rfl | rfl := isUnit_eq_one_or hv <;> decide


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
y : NormedSpace.Dual 𝕜 F
⊢ Continuous fun A => y (A x)

refine (continuous_pi_iff.mp continuous_inducingFn) ⟨x, y⟩


α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : x ∉ thickening δ E
⊢ thickenedIndicatorAux δ E x = 0

α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E
⊢ thickenedIndicatorAux δ E x = 0

rw [thickening, mem_setOf_eq, not_lt] at x_out

α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E
⊢ 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ = 0

α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E
⊢ 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ ⊥

α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E
key : 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ 1 - ENNReal.ofReal δ / ENNReal.ofReal δ
⊢ 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ ⊥

have key := tsub_le_tsub
    (@rfl _ (1 : ℝ≥0∞)).le (ENNReal.div_le_div x_out (@rfl _ (ENNReal.ofReal δ : ℝ≥0∞)).le)

α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E
key : 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ 1 - 1
⊢ 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ ⊥

rw [ENNReal.div_self (ne_of_gt (ENNReal.ofReal_pos.mpr δ_pos)) ofReal_ne_top] at key


α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x < c
hcb : c ≤ b
⊢ filter (fun x => x < c) (Ico a b) = Ico a c

α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x < c
hcb : c ≤ b
⊢ (Finset.Ico a c).val = Ico a c

rw [Ico, ← Finset.filter_val, Finset.Ico_filter_lt_of_le_right hcb]


M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m : Associates M
n : Associates N
d : { l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }
⊢ ↑(d ⟨1, ⋯⟩) = 1

M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m : Associates M
n : Associates N
d : { l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }
this : OrderBot { l // l ≤ m } := Subtype.orderBot ⋯
⊢ ↑(d ⟨1, ⋯⟩) = 1

letI : OrderBot { l : Associates M // l ≤ m } := Subtype.orderBot bot_le

M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m : Associates M
n : Associates N
d : { l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }
this✝ : OrderBot { l // l ≤ m } := Subtype.orderBot ⋯
this : OrderBot { l // l ≤ n } := Subtype.orderBot ⋯
⊢ ↑(d ⟨1, ⋯⟩) = 1

letI : OrderBot { l : Associates N // l ≤ n } := Subtype.orderBot bot_le

M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m : Associates M
n : Associates N
d : { l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }
this✝ : OrderBot { l // l ≤ m } := Subtype.orderBot ⋯
this : OrderBot { l // l ≤ n } := Subtype.orderBot ⋯
⊢ d ⊥ = ⊥

simp only [← Associates.bot_eq_one, Subtype.mk_bot, bot_le, Subtype.coe_eq_bot_iff]

M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m : Associates M
n : Associates N
d : { l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }
this✝¹ : OrderBot { l // l ≤ m } := Subtype.orderBot ⋯
this✝ : OrderBot { l // l ≤ n } := Subtype.orderBot ⋯
this : BotHomClass ({ l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }) { l // l ≤ m } { l // l ≤ n } := OrderIsoClass.toBotHomClass
⊢ d ⊥ = ⊥

letI : BotHomClass ({ l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }) _ _ := OrderIsoClass.toBotHomClass


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
m n : ℕ
⊢ (m, n).1 - (m, n).2 * (fun x x_1 => x / x_1) (m, n).1 (m, n).2 = m % n

case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
m n : ℕ
⊢ (m, n).1 = m % n + (m, n).2 * (fun x x_1 => x / x_1) (m, n).1 (m, n).2

simp [add_comm (m % n), Nat.div_add_mod]


C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
⊢ S.LeftHomologyData

C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f
⊢ S.LeftHomologyData

C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f
f' : S.X₁ ⟶ kernel S.g := kernel.lift S.g S.f ⋯
⊢ S.LeftHomologyData

C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f
f' : S.X₁ ⟶ kernel S.g := kernel.lift S.g S.f ⋯
hf' : f' = kernel.lift γ f' ⋯ ≫ kernel.ι γ
⊢ S.LeftHomologyData

have hf' : f' = kernel.lift γ f' (by simp [γ, f']) ≫ kernel.ι γ := by rw [kernel.lift_ι]

C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f
f' : S.X₁ ⟶ kernel S.g := kernel.lift S.g S.f ⋯
hf' : f' = kernel.lift γ f' ⋯ ≫ kernel.ι γ
wπ : f' ≫ cokernel.π (kernel.ι γ) = 0
⊢ S.LeftHomologyData

have wπ : f' ≫ cokernel.π (kernel.ι γ) = 0 := by
    rw [hf']
    simp only [assoc, cokernel.condition, comp_zero]

C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f
f' : S.X₁ ⟶ kernel S.g := kernel.lift S.g S.f ⋯
hf' : f' = kernel.lift γ f' ⋯ ≫ kernel.ι γ
wπ : f' ≫ cokernel.π (kernel.ι γ) = 0
e : Abelian.image S.f ≅ kernel γ :=
  S.abelianImageToKernelIsKernel.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (parallelPair (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) 0))
⊢ S.LeftHomologyData

let e : Abelian.image S.f ≅ kernel γ :=
    IsLimit.conePointUniqueUpToIso S.abelianImageToKernelIsKernel (limit.isLimit _)

C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f
f' : S.X₁ ⟶ kernel S.g := kernel.lift S.g S.f ⋯
hf' : f' = kernel.lift γ f' ⋯ ≫ kernel.ι γ
wπ : f' ≫ cokernel.π (kernel.ι γ) = 0
e : Abelian.image S.f ≅ kernel γ :=
  S.abelianImageToKernelIsKernel.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (parallelPair (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) 0))
he : e.hom ≫ kernel.ι γ = S.abelianImageToKernel
⊢ S.LeftHomologyData

have he : e.hom ≫ kernel.ι γ = S.abelianImageToKernel :=
    IsLimit.conePointUniqueUpToIso_hom_comp _ _ WalkingParallelPair.zero

C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f
f' : S.X₁ ⟶ kernel S.g := kernel.lift S.g S.f ⋯
hf' : f' = kernel.lift γ f' ⋯ ≫ kernel.ι γ
wπ : f' ≫ cokernel.π (kernel.ι γ) = 0
e : Abelian.image S.f ≅ kernel γ :=
  S.abelianImageToKernelIsKernel.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (parallelPair (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) 0))
he : e.hom ≫ kernel.ι γ = S.abelianImageToKernel
fac : f' = Abelian.factorThruImage S.f ≫ e.hom ≫ kernel.ι γ
⊢ S.LeftHomologyData

have fac : f' = Abelian.factorThruImage S.f ≫ e.hom ≫ kernel.ι γ := by
    rw [hf', he]
    simp only [f', kernel.lift_ι, abelianImageToKernel, ← cancel_mono (kernel.ι S.g), assoc]

C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f
f' : S.X₁ ⟶ kernel S.g := kernel.lift S.g S.f ⋯
hf' : f' = kernel.lift γ f' ⋯ ≫ kernel.ι γ
wπ : f' ≫ cokernel.π (kernel.ι γ) = 0
e : Abelian.image S.f ≅ kernel γ :=
  S.abelianImageToKernelIsKernel.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (parallelPair (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) 0))
he : e.hom ≫ kernel.ι γ = S.abelianImageToKernel
fac : f' = Abelian.factorThruImage S.f ≫ e.hom ≫ kernel.ι γ
hπ : IsColimit (CokernelCofork.ofπ (cokernel.π (kernel.ι γ)) wπ)
⊢ S.LeftHomologyData

have hπ : IsColimit (CokernelCofork.ofπ _ wπ) :=
    CokernelCofork.IsColimit.ofπ _ _
    (fun x hx => cokernel.desc _ x (by
      simpa only [← cancel_epi e.hom, ← cancel_epi (Abelian.factorThruImage S.f),
        comp_zero, fac, assoc] using hx))
    (fun x hx => cokernel.π_desc _ _ _)
    (fun x hx b hb => coequalizer.hom_ext (by simp only [hb, cokernel.π_desc]))

exact
    { K := kernel S.g,
      H := Abelian.coimage (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f)
      i := kernel.ι _,
      π := cokernel.π _
      wi := kernel.condition _
      hi := kernelIsKernel _
      wπ := wπ
      hπ := hπ }


α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a b c d : G
h : b = c / a
⊢ a * b = c

rw [h, div_eq_mul_inv, mul_comm c, mul_inv_cancel_left]


R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
N : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : N
i : ι
⊢ (piScalarRight R S N ι).symm (Pi.single i x) = x ⊗ₜ[R] Pi.single i 1


F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarModule R A
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : AlgHomClass F R A B
inst✝ : StarAlgHomClass F R A B
f g : F
φ : A →⋆ₐ[R] B
x : B
⊢ x ∈ φ.range → x ∈ map φ ⊤

case intro
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarModule R A
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : AlgHomClass F R A B
inst✝ : StarAlgHomClass F R A B
f g : F
φ : A →⋆ₐ[R] B
x : B
a : A
ha : φ.toRingHom a = x
⊢ x ∈ map φ ⊤

F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarModule R A
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : AlgHomClass F R A B
inst✝ : StarAlgHomClass F R A B
f g : F
φ : A →⋆ₐ[R] B
x : B
⊢ x ∈ map φ ⊤ → x ∈ φ.range

case intro.intro
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarModule R A
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : AlgHomClass F R A B
inst✝ : StarAlgHomClass F R A B
f g : F
φ : A →⋆ₐ[R] B
x : B
a : A
ha : ↑φ.toAlgHom a = x
⊢ x ∈ φ.range


R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
⊢ 0 ≤ I

R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
x : P
hx : x ∈ 0
⊢ x ∈ I

R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
x : P
hx : x ∈ 0
⊢ 0 ∈ I


R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : AddMonoid R
inst✝¹ : StarAddMonoid R
inst✝ : Star A
a : A
⊢ (↑(star a)).fst = (star ↑a).fst

simp only [fst_star, star_zero, fst_inr]


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α
h : a ^ 2 ≤ b ^ 2
hb : 0 ≤ b
⊢ |a| ≤ b


α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
i : Fin n
⊢ (ofFn f).nthLe ↑i ⋯ = f i


α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
s : Set β
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ b ∈ s, Tendsto (fun x => (f b, f x)) (𝓝[s] b) (𝓤 α)


ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
x✝ y✝ : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
hm : m ≤ y i₀
⊢ (univ.pi fun i => Ioc (x i) (update y i₀ m i)) = {z | z i₀ ≤ m} ∩ univ.pi fun i => Ioc (x i) (y i)

ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
x✝ y✝ : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
hm : m ≤ y i₀
this : Ioc (x i₀) m = Iic m ∩ Ioc (x i₀) (y i₀)
⊢ (univ.pi fun i => Ioc (x i) (update y i₀ m i)) = {z | z i₀ ≤ m} ∩ univ.pi fun i => Ioc (x i) (y i)

have : Ioc (x i₀) m = Iic m ∩ Ioc (x i₀) (y i₀) := by
    rw [← Ioi_inter_Iic, ← Ioi_inter_Iic, inter_left_comm,
      inter_eq_self_of_subset_left (Iic_subset_Iic.2 hm)]

ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
x✝ y✝ : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
hm : m ≤ y i₀
this : Ioc (x i₀) m = Iic m ∩ Ioc (x i₀) (y i₀)
⊢ ({x_1 | x_1 i₀ ∈ Iic m ∩ Ioc (x i₀) (y i₀)} ∩ {i₀}ᶜ.pi fun j => Ioc (x j) (y j)) =
    {z | z i₀ ≤ m} ∩ {x_1 | x_1 i₀ ∈ Ioc (x i₀) (y i₀)} ∩ {i₀}ᶜ.pi fun j => Ioc (x j) (y j)

simp_rw [univ_pi_update i₀ y m fun i z ↦ Ioc (x i) z, ← pi_inter_compl ({i₀} : Set ι),
    singleton_pi', ← inter_assoc, this]


C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y S T U V W : C
inst✝¹ : HasBinaryCoproduct U W
inst✝ : HasBinaryCoproduct T V
f : U ⟶ S
g : W ⟶ S
h : T ⟶ U
k : V ⟶ W
⊢ map h k ≫ desc f g = desc (h ≫ f) (k ≫ g)


𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f✝ : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
⊢ Bijective ⇑f ↔ (LinearMap.range f).topologicalClosure = ⊤ ∧ ∃ c, AntilipschitzWith c ⇑f

case eq_top
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f✝ : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
h : Bijective ⇑f
⊢ (LinearMap.range f).topologicalClosure = ⊤

case anti
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f✝ : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
h : Bijective ⇑f
⊢ ∃ c, AntilipschitzWith c ⇑f

case surj
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f✝ : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
x✝ : (LinearMap.range f).topologicalClosure = ⊤ ∧ ∃ c, AntilipschitzWith c ⇑f
hd : (LinearMap.range f).topologicalClosure = ⊤
c : ℝ≥0
hf : AntilipschitzWith c ⇑f
⊢ Surjective ⇑f

refine ⟨fun h ↦ ⟨?eq_top, ?anti⟩, fun ⟨hd, c, hf⟩ ↦ ⟨hf.injective, ?surj⟩⟩

case eq_top => simpa [SetLike.ext'_iff] using h.2.denseRange.closure_eq

case anti =>
    refine ⟨_, ContinuousLinearEquiv.ofBijective f ?_ ?_ |>.antilipschitz⟩ <;>
    simp only [LinearMap.range_eq_top, LinearMapClass.ker_eq_bot, h.1, h.2]

case surj => rwa [← LinearMap.range_eq_top, ← closed_range_of_antilipschitz hf]


R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f g : M →ₗ[R] M
H : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } R M)
⊢ (trace R M) (f * g) = (trace R M) (g * f)

R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b✝ : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f g : M →ₗ[R] M
H : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } R M)
s : Finset M
b : Basis { x // x ∈ s } R M
⊢ (trace R M) (f * g) = (trace R M) (g * f)

R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b✝ : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f g : M →ₗ[R] M
H : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } R M)
s : Finset M
b : Basis { x // x ∈ s } R M
⊢ ((toMatrix b b) f * (toMatrix b b) g).trace = ((toMatrix b b) g * (toMatrix b b) f).trace

simp_rw [trace_eq_matrix_trace R b, LinearMap.toMatrix_mul]

R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f g : M →ₗ[R] M
H : ¬∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } R M)
⊢ (trace R M) (f * g) = (trace R M) (g * f)

rw [trace, dif_neg H, LinearMap.zero_apply, LinearMap.zero_apply]


C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : j = i.castSucc
⊢ X.δ i ≫ X.δ j = X.δ i ≫ X.δ i.succ

C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
⊢ X.δ i ≫ X.δ i.castSucc = X.δ i ≫ X.δ i.succ


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
S : ConvexCone 𝕜 E
h : ∀ (x y : E), x ≤ y ↔ y - x ∈ S
⊢ ∀ ⦃a b : E⦄ ⦃c : 𝕜⦄, a < b → 0 < c → c • a ≤ c • b

𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
S : ConvexCone 𝕜 E
h : ∀ (x y : E), x ≤ y ↔ y - x ∈ S
x y : E
z : 𝕜
xy : x < y
hz : 0 < z
⊢ z • x ≤ z • y

𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
S : ConvexCone 𝕜 E
h : ∀ (x y : E), x ≤ y ↔ y - x ∈ S
x y : E
z : 𝕜
xy : x < y
hz : 0 < z
⊢ z • (y - x) ∈ S

rw [h (z • x) (z • y), ← smul_sub z y x]


α : Type u
l l' : List α
⊢ l.reverse ~r l'.reverse ↔ l ~r l'


ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
p : ι → Prop
hc : ∀ (i : ι), p i → Continuous (f i)
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
⊢ Continuous fun x => ∏ᶠ (i : ι) (_ : p i), f i x

ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
p : ι → Prop
hc : ∀ (i : ι), p i → Continuous (f i)
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
⊢ Continuous fun x => ∏ᶠ (j : Subtype p), f (↑j) x

simp only [← finprod_subtype_eq_finprod_cond]

exact continuous_finprod (fun i => hc i i.2) (hf.comp_injective Subtype.coe_injective)


R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
⊢ seminormFromConst' hf1 hc hpm (x ^ m) = seminormFromConst' hf1 hc hpm x ^ m

R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
⊢ ⋯.choose = ⋯.choose ^ m

R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
hlim : Tendsto (fun n => seminormFromConst_seq c f (x ^ m) (m * n)) atTop (𝓝 (seminormFromConst' hf1 hc hpm (x ^ m)))
⊢ ⋯.choose = ⋯.choose ^ m

have hlim : Tendsto (fun n ↦ seminormFromConst_seq c f (x ^ m) (m * n)) atTop
      (𝓝 (seminormFromConst' hf1 hc hpm (x ^ m))) := by
    apply (seminormFromConst_isLimit hf1 hc hpm (x ^ m)).comp
      (tendsto_atTop_atTop_of_monotone (fun _ _ hnk ↦ mul_le_mul_left' hnk m) _)
    rintro n; use n; exact le_mul_of_one_le_left' hm

R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
hlim : Tendsto (fun n => seminormFromConst_seq c f (x ^ m) (m * n)) atTop (𝓝 (seminormFromConst' hf1 hc hpm (x ^ m)))
⊢ Tendsto (fun n => seminormFromConst_seq c f (x ^ m) (m * n)) atTop (𝓝 (⋯.choose ^ m))

case h.e'_3
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
hlim : Tendsto (fun n => seminormFromConst_seq c f (x ^ m) (m * n)) atTop (𝓝 (seminormFromConst' hf1 hc hpm (x ^ m)))
⊢ (fun n => seminormFromConst_seq c f (x ^ m) (m * n)) = fun x_1 => seminormFromConst_seq c f x x_1 ^ m

convert (seminormFromConst_isLimit hf1 hc hpm x).pow m using 1

case h.e'_3.h
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
hlim : Tendsto (fun n => seminormFromConst_seq c f (x ^ m) (m * n)) atTop (𝓝 (seminormFromConst' hf1 hc hpm (x ^ m)))
n : ℕ
⊢ seminormFromConst_seq c f (x ^ m) (m * n) = seminormFromConst_seq c f x n ^ m

simp only [seminormFromConst_seq, div_pow, ← hpm _ hm, ← pow_mul, mul_pow, mul_comm m n]


C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
X Y : Mon_ C
P Q : Bimod X Y
f : P.X ≅ Q.X
f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft
f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight
⊢ Q.actLeft ≫ f.inv = X.X ◁ f.inv ≫ P.actLeft

rw [← cancel_mono f.hom, Category.assoc, Category.assoc, Iso.inv_hom_id, Category.comp_id,
          f_left_act_hom, ← Category.assoc, ← MonoidalCategory.whiskerLeft_comp, Iso.inv_hom_id,
          MonoidalCategory.whiskerLeft_id, Category.id_comp]

C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
X Y : Mon_ C
P Q : Bimod X Y
f : P.X ≅ Q.X
f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft
f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight
⊢ Q.actRight ≫ f.inv = f.inv ▷ Y.X ≫ P.actRight

rw [← cancel_mono f.hom, Category.assoc, Category.assoc, Iso.inv_hom_id, Category.comp_id,
          f_right_act_hom, ← Category.assoc, ← comp_whiskerRight, Iso.inv_hom_id,
          MonoidalCategory.id_whiskerRight, Category.id_comp]

C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
X Y : Mon_ C
P Q : Bimod X Y
f : P.X ≅ Q.X
f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft
f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight
⊢ { hom := f.hom, left_act_hom := ⋯, right_act_hom := ⋯ } ≫ { hom := f.inv, left_act_hom := ⋯, right_act_hom := ⋯ } =
    𝟙 P

case h
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
X Y : Mon_ C
P Q : Bimod X Y
f : P.X ≅ Q.X
f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft
f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight
⊢ ({ hom := f.hom, left_act_hom := ⋯, right_act_hom := ⋯ } ≫
        { hom := f.inv, left_act_hom := ⋯, right_act_hom := ⋯ }).hom =
    (𝟙 P).hom

case h
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
X Y : Mon_ C
P Q : Bimod X Y
f : P.X ≅ Q.X
f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft
f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight
⊢ f.hom ≫ f.inv = 𝟙 P.X

C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
X Y : Mon_ C
P Q : Bimod X Y
f : P.X ≅ Q.X
f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft
f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight
⊢ { hom := f.inv, left_act_hom := ⋯, right_act_hom := ⋯ } ≫ { hom := f.hom, left_act_hom := ⋯, right_act_hom := ⋯ } =
    𝟙 Q

case h
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
X Y : Mon_ C
P Q : Bimod X Y
f : P.X ≅ Q.X
f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft
f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight
⊢ ({ hom := f.inv, left_act_hom := ⋯, right_act_hom := ⋯ } ≫
        { hom := f.hom, left_act_hom := ⋯, right_act_hom := ⋯ }).hom =
    (𝟙 Q).hom

case h
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
X Y : Mon_ C
P Q : Bimod X Y
f : P.X ≅ Q.X
f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft
f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight
⊢ f.inv ≫ f.hom = 𝟙 Q.X


x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
k : ℤ
⊢ k * x * (k * x) + k * y * (k * y) = k ^ 2 * (x * x + y * y)

x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
k : ℤ
⊢ k ^ 2 * (x * x + y * y) = k ^ 2 * (z * z)

x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
k : ℤ
⊢ k ^ 2 * (z * z) = k * z * (k * z)


R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : Ideal A
h : J ≤ I
⊢ I ∣ J

case pos
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : Ideal A
h : J ≤ I
hI : I = ⊥
⊢ I ∣ J

case neg
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : Ideal A
h : J ≤ I
hI : ¬I = ⊥
⊢ I ∣ J

case neg
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : Ideal A
h : J ≤ I
hI : ¬I = ⊥
hI' : ↑I ≠ 0
⊢ I ∣ J

have hI' : (I : FractionalIdeal A⁰ (FractionRing A)) ≠ 0 := coeIdeal_ne_zero.mpr hI

case neg
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : Ideal A
h : J ≤ I
hI : ¬I = ⊥
hI' : ↑I ≠ 0
this : (↑I)⁻¹ * ↑J ≤ 1
⊢ I ∣ J

have : (I : FractionalIdeal A⁰ (FractionRing A))⁻¹ * J ≤ 1 :=
      le_trans (mul_left_mono (↑I)⁻¹ ((coeIdeal_le_coeIdeal _).mpr h))
        (le_of_eq (inv_mul_cancel hI'))

case neg.intro
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : Ideal A
h : J ≤ I
hI : ¬I = ⊥
hI' : ↑I ≠ 0
this : (↑I)⁻¹ * ↑J ≤ 1
H : Ideal A
hH : ↑H = (↑I)⁻¹ * ↑J
⊢ I ∣ J

obtain ⟨H, hH⟩ := le_one_iff_exists_coeIdeal.mp this

case h
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : Ideal A
h : J ≤ I
hI : ¬I = ⊥
hI' : ↑I ≠ 0
this : (↑I)⁻¹ * ↑J ≤ 1
H : Ideal A
hH : ↑H = (↑I)⁻¹ * ↑J
⊢ J = I * H

case h
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : Ideal A
h : J ≤ I
hI : ¬I = ⊥
hI' : ↑I ≠ 0
this : (↑I)⁻¹ * ↑J ≤ 1
H : Ideal A
hH : ↑H = (↑I)⁻¹ * ↑J
⊢ ↑J = ↑(I * H)

refine coeIdeal_injective (show (J : FractionalIdeal A⁰ (FractionRing A)) = ↑(I * H) from ?_)

rw [coeIdeal_mul, hH, ← mul_assoc, mul_inv_cancel hI', one_mul]


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : Mon_ C
f : Y ⟶ Z
⊢ (X ◁ f).hom = X.X ◁ f.hom

C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : Mon_ C
f : Y ⟶ Z
⊢ (X ◁ f).hom = 𝟙 X.X ⊗ f.hom


R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfcₙ (fun x => star x) a = star a


C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝² : HasImage f
inst✝¹ : Epi (image.ι f)
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
⊢ Epi f

C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝² : HasImage f
inst✝¹ : Epi (image.ι f)
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
⊢ Epi (factorThruImage f ≫ image.ι f)


V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
⊢ (s.reindex e).circumcenter = s.circumcenter


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
P : Subobject Y
f : X ⟶ Y
h : P.Factors f
⊢ P.factorThru f h = 0 ↔ f = 0

case mp
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
P : Subobject Y
f : X ⟶ Y
h : P.Factors f
⊢ P.factorThru f h = 0 → f = 0

case mpr
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
P : Subobject Y
f : X ⟶ Y
h : P.Factors f
⊢ f = 0 → P.factorThru f h = 0


α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
⊢ ρ {x | v.limRatioMeas hρ x = 0} = 0

α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = 0}
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[{x | v.limRatioMeas hρ x = 0}] x, ρ u = 0

refine measure_null_of_locally_null _ fun x _ => ?_

case intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = 0}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : μ o < ⊤
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[{x | v.limRatioMeas hρ x = 0}] x, ρ u = 0

obtain ⟨o, xo, o_open, μo⟩ : ∃ o : Set α, x ∈ o ∧ IsOpen o ∧ μ o < ∞ :=
    Measure.exists_isOpen_measure_lt_top μ x

case intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = 0}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : μ o < ⊤
s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = 0} ∩ o
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[{x | v.limRatioMeas hρ x = 0}] x, ρ u = 0

let s := {x : α | v.limRatioMeas hρ x = 0} ∩ o

case intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = 0}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : μ o < ⊤
s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = 0} ∩ o
⊢ ρ s ≤ 0

refine ⟨s, inter_mem_nhdsWithin _ (o_open.mem_nhds xo), le_antisymm ?_ bot_le⟩

case intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = 0}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : μ o < ⊤
s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = 0} ∩ o
μs : μ s ≠ ⊤
⊢ ρ s ≤ 0

have μs : μ s ≠ ∞ := ((measure_mono inter_subset_right).trans_lt μo).ne

case intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = 0}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : μ o < ⊤
s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = 0} ∩ o
μs : μ s ≠ ⊤
A : ∀ (q : ℝ≥0), 0 < q → ρ s ≤ ↑q * μ s
⊢ ρ s ≤ 0

have A : ∀ q : ℝ≥0, 0 < q → ρ s ≤ q * μ s := by
    intro q hq
    apply v.measure_le_mul_of_subset_limRatioMeas_lt hρ
    intro y hy
    have : v.limRatioMeas hρ y = 0 := hy.1
    simp only [this, mem_setOf_eq, hq, ENNReal.coe_pos]

case intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = 0}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : μ o < ⊤
s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = 0} ∩ o
μs : μ s ≠ ⊤
A : ∀ (q : ℝ≥0), 0 < q → ρ s ≤ ↑q * μ s
B : Tendsto (fun q => ↑q * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (↑0 * μ s))
⊢ ρ s ≤ 0

have B : Tendsto (fun q : ℝ≥0 => (q : ℝ≥0∞) * μ s) (𝓝[>] (0 : ℝ≥0)) (𝓝 ((0 : ℝ≥0) * μ s)) := by
    apply ENNReal.Tendsto.mul_const _ (Or.inr μs)
    rw [ENNReal.tendsto_coe]
    exact nhdsWithin_le_nhds

case intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = 0}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : μ o < ⊤
s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = 0} ∩ o
μs : μ s ≠ ⊤
A : ∀ (q : ℝ≥0), 0 < q → ρ s ≤ ↑q * μ s
B : Tendsto (fun q => ↑q * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
⊢ ρ s ≤ 0

simp only [zero_mul, ENNReal.coe_zero] at B

case intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = 0}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : μ o < ⊤
s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = 0} ∩ o
μs : μ s ≠ ⊤
A : ∀ (q : ℝ≥0), 0 < q → ρ s ≤ ↑q * μ s
B : Tendsto (fun q => ↑q * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (c : ℝ≥0) in 𝓝[>] 0, ρ s ≤ ↑c * μ s

filter_upwards [self_mem_nhdsWithin] using A


ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : MulOneClass M
s : Set M
⊢ (closure s).op = closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)

ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : MulOneClass M
s : Set M
⊢ sInf {a | s ⊆ MulOpposite.op ⁻¹' ↑a} = sInf {S | MulOpposite.unop ⁻¹' s ⊆ ↑S}

simp_rw [closure, op_sInf, Set.preimage_setOf_eq, Submonoid.unop_coe]

case e_a.h
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : MulOneClass M
s : Set M
a : Submonoid Mᵐᵒᵖ
⊢ a ∈ {a | s ⊆ MulOpposite.op ⁻¹' ↑a} ↔ a ∈ {S | MulOpposite.unop ⁻¹' s ⊆ ↑S}


R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : CoalgebraCat R
⊢ ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫ ModuleCat.ofHom Coalgebra.counit ▷ ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat =
    (λ_ (ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat)).inv

simpa only [ModuleCat.of_coe] using Coalgebra.rTensor_counit_comp_comul

R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : CoalgebraCat R
⊢ ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫ ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat ◁ ModuleCat.ofHom Coalgebra.counit =
    (ρ_ (ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat)).inv

simpa only [ModuleCat.of_coe] using Coalgebra.lTensor_counit_comp_comul

R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : CoalgebraCat R
⊢ ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫ ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat ◁ ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul =
    ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫
      ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ▷ ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat ≫
        (α_ (ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat) (ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat) (ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat)).hom

R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : CoalgebraCat R
⊢ ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫ X.toModuleCat ◁ ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul =
    ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫
      ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ▷ X.toModuleCat ≫ (α_ X.toModuleCat X.toModuleCat X.toModuleCat).hom


R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i j : n
h : i ≠ j
⊢ M.charmatrix i j = -C (M i j)

simp only [charmatrix, RingHom.mapMatrix_apply, sub_apply, scalar_apply, diagonal_apply_ne _ h,
    map_apply, sub_eq_neg_self]


G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 1, K * V ⊆ U

case refine_1
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 1, ∅ * V ⊆ U

case refine_2
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
⊢ ∀ ⦃s t : Set G⦄, s ⊆ t → (∃ V ∈ 𝓝 1, t * V ⊆ U) → ∃ V ∈ 𝓝 1, s * V ⊆ U

case refine_3
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
⊢ ∀ ⦃s t : Set G⦄, (∃ V ∈ 𝓝 1, s * V ⊆ U) → (∃ V ∈ 𝓝 1, t * V ⊆ U) → ∃ V ∈ 𝓝 1, (s ∪ t) * V ⊆ U

case refine_4
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
⊢ ∀ x ∈ K, ∃ t ∈ 𝓝[K] x, ∃ V ∈ 𝓝 1, t * V ⊆ U


C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
⊢ J.plusMap (J.toPlus P) = J.toPlus (J.plusObj P)

case w.h
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
X : Cᵒᵖ
⊢ (J.plusMap (J.toPlus P)).app X = (J.toPlus (J.plusObj P)).app X

case w.h
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
X : Cᵒᵖ
S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
⊢ colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫ (J.plusMap (J.toPlus P)).app X =
    colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫ (J.toPlus (J.plusObj P)).app X

case w.h
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
X : Cᵒᵖ
S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
⊢ colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫
      colimMap
        (J.diagramNatTrans
          { app := fun X => ⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P (unop X)) (op ⊤), naturality := ⋯ }
          (unop X)) =
    colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫
      ⊤.toMultiequalizer (J.plusObj P) ≫ colimit.ι (J.diagram (J.plusObj P) (unop X)) (op ⊤)

case w.h
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
X : Cᵒᵖ
S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
⊢ colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫
      colimMap
        (J.diagramNatTrans
          { app := fun X => ⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P (unop X)) (op ⊤), naturality := ⋯ }
          (unop X)) =
    colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫
      ⊤.toMultiequalizer (J.plusObj P) ≫ colimit.ι (J.diagram (J.plusObj P) (unop X)) (op ⊤)

let e : S.unop ⟶ ⊤ := homOfLE (OrderTop.le_top _)

case w.h
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
X : Cᵒᵖ
S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
⊢ (J.diagramNatTrans { app := fun X => ⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P (unop X)) (op ⊤), naturality := ⋯ }
            (unop X)).app
        S ≫
      colimit.ι (J.diagram (J.plusObj P) (unop X)) S =
    ((colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫ ⊤.toMultiequalizer (J.plusObj P)) ≫
        (J.diagram (J.plusObj P) (unop X)).map e.op) ≫
      colimit.ι (J.diagram (J.plusObj P) (unop X)) (op (unop S))

rw [ι_colimMap, ← colimit.w _ e.op, ← Category.assoc, ← Category.assoc]

case w.h.e_a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
X : Cᵒᵖ
S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
⊢ (J.diagramNatTrans { app := fun X => ⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P (unop X)) (op ⊤), naturality := ⋯ }
          (unop X)).app
      S =
    (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫ ⊤.toMultiequalizer (J.plusObj P)) ≫
      (J.diagram (J.plusObj P) (unop X)).map e.op

case w.h.e_a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
X : Cᵒᵖ
S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
I : ((unop S).index (J.plusObj P)).L
⊢ (J.diagramNatTrans { app := fun X => ⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P (unop X)) (op ⊤), naturality := ⋯ }
            (unop X)).app
        S ≫
      Multiequalizer.ι ((unop S).index (J.plusObj P)) I =
    ((colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫ ⊤.toMultiequalizer (J.plusObj P)) ≫
        (J.diagram (J.plusObj P) (unop X)).map e.op) ≫
      Multiequalizer.ι ((unop S).index (J.plusObj P)) I

refine Multiequalizer.hom_ext _ _ _ (fun I => ?_)

case w.h.e_a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
X : Cᵒᵖ
S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
I : ((unop S).index (J.plusObj P)).L
⊢ Multiequalizer.ι ((unop S).index P) I ≫
      { app := fun X => ⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P (unop X)) (op ⊤), naturality := ⋯ }.app (op I.Y) =
    ((colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫ ⊤.toMultiequalizer (J.plusObj P)) ≫
        (J.diagram (J.plusObj P) (unop X)).map e.op) ≫
      Multiequalizer.ι ((unop S).index (J.plusObj P)) I

case w.h.e_a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
X : Cᵒᵖ
S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
I : ((unop S).index (J.plusObj P)).L
⊢ Multiequalizer.ι ((unop S).index P) I ≫ ⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ⊤) =
    colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫ (J.plusObj P).map (Cover.Arrow.map I e.op.unop).f.op

simp only [unop_op, op_unop, diagram_map, Category.assoc, limit.lift_π,
    Multifork.ofι_π_app]

case w.h.e_a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
X : Cᵒᵖ
S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
I : ((unop S).index (J.plusObj P)).L
ee : (J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S) ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
⊢ Multiequalizer.ι ((unop S).index P) I ≫ ⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ⊤) =
    colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫ (J.plusObj P).map (Cover.Arrow.map I e.op.unop).f.op

let ee : (J.pullback (I.map e).f).obj S.unop ⟶ ⊤ := homOfLE (OrderTop.le_top _)

case w.h.e_a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
X : Cᵒᵖ
S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
I : ((unop S).index (J.plusObj P)).L
ee : (J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S) ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
⊢ ((Multiequalizer.ι ((unop S).index P) I ≫ ⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagram P I.Y).map ee.op) ≫
      colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S))) =
    Multiequalizer.lift ((unop ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e.op.unop).f.op.unop).op.obj S)).index P)
        ((J.diagram P (unop X)).obj S) (fun I_1 => Multiequalizer.ι ((unop S).index P) (Cover.Arrow.base I_1)) ⋯ ≫
      colimit.ι (J.diagram P (unop (op (Cover.Arrow.map I e.op.unop).Y)))
        ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e.op.unop).f.op.unop).op.obj S)

erw [← colimit.w _ ee.op, ι_colimMap_assoc, colimit.ι_pre, diagramPullback_app,
    ← Category.assoc, ← Category.assoc]

case w.h.e_a.e_a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
X : Cᵒᵖ
S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
I : ((unop S).index (J.plusObj P)).L
ee : (J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S) ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
⊢ (Multiequalizer.ι ((unop S).index P) I ≫ ⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagram P I.Y).map ee.op =
    Multiequalizer.lift ((unop ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e.op.unop).f.op.unop).op.obj S)).index P)
      ((J.diagram P (unop X)).obj S) (fun I_1 => Multiequalizer.ι ((unop S).index P) (Cover.Arrow.base I_1)) ⋯

case w.h.e_a.e_a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
X : Cᵒᵖ
S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
I : ((unop S).index (J.plusObj P)).L
ee : (J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S) ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
II : ((unop (op ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S)))).index P).L
⊢ ((Multiequalizer.ι ((unop S).index P) I ≫ ⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagram P I.Y).map ee.op) ≫
      Multiequalizer.ι ((unop (op ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S)))).index P) II =
    Multiequalizer.lift ((unop ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e.op.unop).f.op.unop).op.obj S)).index P)
        ((J.diagram P (unop X)).obj S) (fun I_1 => Multiequalizer.ι ((unop S).index P) (Cover.Arrow.base I_1)) ⋯ ≫
      Multiequalizer.ι ((unop (op ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S)))).index P) II

refine Multiequalizer.hom_ext _ _ _ (fun II => ?_)

case h.e'_2.h
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
X : Cᵒᵖ
S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
I : ((unop S).index (J.plusObj P)).L
ee : (J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S) ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
II : ((unop (op ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S)))).index P).L
e_1✝ :
  ((J.diagram P (unop X)).obj S ⟶ ((unop (op ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S)))).index P).left II) =
    (multiequalizer ((unop S).index P) ⟶
      ((unop S).index P).right
        { fst := I, snd := Cover.Arrow.base II, r := { Z := II.Y, g₁ := II.f, g₂ := 𝟙 II.Y, w := ⋯ } })
⊢ ((Multiequalizer.ι ((unop S).index P) I ≫ ⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagram P I.Y).map ee.op) ≫
      Multiequalizer.ι ((unop (op ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S)))).index P) II =
    Multiequalizer.ι ((unop S).index P)
        (((unop S).index P).fstTo
          { fst := I, snd := Cover.Arrow.base II, r := { Z := II.Y, g₁ := II.f, g₂ := 𝟙 II.Y, w := ⋯ } }) ≫
      ((unop S).index P).fst
        { fst := I, snd := Cover.Arrow.base II, r := { Z := II.Y, g₁ := II.f, g₂ := 𝟙 II.Y, w := ⋯ } }

case h.e'_3.h
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
X : Cᵒᵖ
S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
I : ((unop S).index (J.plusObj P)).L
ee : (J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S) ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
II : ((unop (op ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S)))).index P).L
e_1✝ :
  ((J.diagram P (unop X)).obj S ⟶ ((unop (op ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S)))).index P).left II) =
    (multiequalizer ((unop S).index P) ⟶
      ((unop S).index P).right
        { fst := I, snd := Cover.Arrow.base II, r := { Z := II.Y, g₁ := II.f, g₂ := 𝟙 II.Y, w := ⋯ } })
⊢ Multiequalizer.lift ((unop ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e.op.unop).f.op.unop).op.obj S)).index P)
        ((J.diagram P (unop X)).obj S) (fun I_1 => Multiequalizer.ι ((unop S).index P) (Cover.Arrow.base I_1)) ⋯ ≫
      Multiequalizer.ι ((unop (op ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S)))).index P) II =
    Multiequalizer.ι ((unop S).index P)
        (((unop S).index P).sndTo
          { fst := I, snd := Cover.Arrow.base II, r := { Z := II.Y, g₁ := II.f, g₂ := 𝟙 II.Y, w := ⋯ } }) ≫
      ((unop S).index P).snd
        { fst := I, snd := Cover.Arrow.base II, r := { Z := II.Y, g₁ := II.f, g₂ := 𝟙 II.Y, w := ⋯ } }

convert Multiequalizer.condition (S.unop.index P)
    (Cover.Relation.mk I II.base { g₁ := II.f, g₂ := 𝟙 _ }) using 1


α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
L : List (List (Option α))
hm : m < L.length
⊢ take m L <+: take n L ↔ m ≤ n

α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
L : List (List (Option α))
hm : m < L.length
⊢ take m L = take (min m L.length) (take n L) ↔ m ≤ n

simp only [prefix_iff_eq_take, length_take]

induction m generalizing L n with
  | zero => simp [min_eq_left, eq_self_iff_true, Nat.zero_le, take]
  | succ m IH =>
    cases L with
    | nil => simp_all
    | cons l ls =>
      cases n with
      | zero =>
        simp
      | succ n =>
        simp only [length_cons, succ_eq_add_one, Nat.add_lt_add_iff_right] at hm
        simp [← @IH n ls hm, Nat.min_eq_left, Nat.le_of_lt hm]


𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ dist a (a * b) = ‖b‖

rw [← dist_one_left, ← dist_mul_left a 1 b, mul_one]


x : SimplexCategory
i : x ⟶ x
inst✝ : Epi i
⊢ i = 𝟙 x

x : SimplexCategory
i : x ⟶ x
inst✝ : Epi i
⊢ IsIso i

suffices IsIso i by
    haveI := this
    apply eq_id_of_isIso

case hf
x : SimplexCategory
i : x ⟶ x
inst✝ : Epi i
⊢ Function.Bijective (Hom.toOrderHom i).toFun

case hf
x : SimplexCategory
i : x ⟶ x
inst✝ : Epi i
⊢ Function.Bijective ⇑(Hom.toOrderHom i)

case hf
x : SimplexCategory
i : x ⟶ x
inst✝ : Epi i
⊢ Epi i

rw [Fintype.bijective_iff_surjective_and_card i.toOrderHom, ← epi_iff_surjective,
    eq_self_iff_true, and_true_iff]


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
hfa : Monotone f
hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)
⊢ CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i

α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
hfa : Monotone f
hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)
⊢ CauchySeq fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, f x * (-1) ^ x

exact hfa.cauchySeq_series_mul_of_tendsto_zero_of_bounded hf0 norm_sum_neg_one_pow_le


it : Iterator
⊢ ValidFor it.s.data.reverse [] it.toEnd

it : Iterator
⊢ ValidFor it.s.data.reverse [] { s := it.s, i := it.s.endPos }

exact .of_eq _ (by simp [List.reverseAux_eq]) (by simp [endPos, utf8ByteSize])


K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
i : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
⊢ (latticeBasis K) i = (canonicalEmbedding K) ((integralBasis K) i)

simp only [latticeBasis, integralBasis_apply, coe_basisOfLinearIndependentOfCardEqFinrank,
    Function.comp_apply, Equiv.apply_symm_apply]


ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
v w : V
hvw : G.Adj v w
v✝ w✝ : V
h : (fun a b => s(v, w) = s(a, b)) v✝ w✝
⊢ G.Adj v✝ w✝

ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
v w : V
hvw : G.Adj v w
v✝ w✝ : V
h : (fun a b => s(v, w) = s(a, b)) v✝ w✝
⊢ s(v, w) ∈ G.edgeSet

ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
v w : V
hvw : G.Adj v w
a b : V
h : (fun a b => s(v, w) = s(a, b)) a b
⊢ a ∈ {v, w}

ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
v w : V
hvw : G.Adj v w
a b : V
h : (a ∈ s(v, w)) = (a ∈ s(a, b))
⊢ a ∈ {v, w}

ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
v w : V
hvw : G.Adj v w
a b : V
h : a = v ∨ a = w
⊢ a ∈ {v, w}

simp only [Sym2.mem_iff, true_or, eq_iff_iff, iff_true] at h


R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p : R[X]
r s : R
⊢ p.scaleRoots (r * s) = (p.scaleRoots r).scaleRoots s

case a
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p : R[X]
r s : R
n✝ : ℕ
⊢ (p.scaleRoots (r * s)).coeff n✝ = ((p.scaleRoots r).scaleRoots s).coeff n✝


X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
f : X → Y
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace Y
hf' : Continuous f
hf : Tendsto f cofinite (cocompact Y)
⊢ DiscreteTopology X

X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
f : X → Y
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace Y
hf' : Continuous f
hf : Tendsto f cofinite (cocompact Y)
x : X
⊢ IsOpen {x}

refine singletons_open_iff_discrete.mp (fun x ↦ ?_)

case intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
f : X → Y
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace Y
hf' : Continuous f
hf : Tendsto f cofinite (cocompact Y)
x : X
K : Set Y
hK : IsCompact K
hK' : K ∈ 𝓝 (f x)
⊢ IsOpen {x}

obtain ⟨K : Set Y, hK : IsCompact K, hK' : K ∈ 𝓝 (f x)⟩ := exists_compact_mem_nhds (f x)

case intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
f : X → Y
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace Y
hf' : Continuous f
hf : Tendsto f cofinite (cocompact Y)
x : X
K : Set Y
hK : IsCompact K
hK' : K ∈ 𝓝 (f x)
U : Set Y
hU₁ : U ⊆ K
hU₂ : IsOpen U
hU₃ : f x ∈ U
⊢ IsOpen {x}

obtain ⟨U : Set Y, hU₁ : U ⊆ K, hU₂ : IsOpen U, hU₃ : f x ∈ U⟩ := mem_nhds_iff.mp hK'

case intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
f : X → Y
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace Y
hf' : Continuous f
hf : Tendsto f cofinite (cocompact Y)
x : X
K : Set Y
hK : IsCompact K
hK' : K ∈ 𝓝 (f x)
U : Set Y
hU₁ : U ⊆ K
hU₂ : IsOpen U
hU₃ : f x ∈ U
hU₄ : (f ⁻¹' U).Finite
⊢ IsOpen {x}

have hU₄ : Set.Finite (f⁻¹' U) :=
    Finite.subset (tendsto_cofinite_cocompact_iff.mp hf K hK) (preimage_mono hU₁)

exact isOpen_singleton_of_finite_mem_nhds _ ((hU₂.preimage hf').mem_nhds hU₃) hU₄


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
⊢ (irreducibleComponents α).Finite

case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
S : Set (Set α)
hSf : S.Finite
hSc : ∀ t ∈ S, IsClosed t
hSi : ∀ t ∈ S, IsIrreducible t
hSU : Set.univ = ⋃₀ S
⊢ (irreducibleComponents α).Finite

obtain ⟨S : Set (Set α), hSf, hSc, hSi, hSU⟩ :=
    NoetherianSpace.exists_finite_set_isClosed_irreducible isClosed_univ (α := α)

case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
S : Set (Set α)
hSf : S.Finite
hSc : ∀ t ∈ S, IsClosed t
hSi : ∀ t ∈ S, IsIrreducible t
hSU : Set.univ = ⋃₀ S
s : Set α
hs : s ∈ irreducibleComponents α
⊢ s ∈ S

case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
s : Set α
hs : s ∈ irreducibleComponents α
S : Finset (Set α)
hSc : ∀ t ∈ ↑S, IsClosed t
hSi : ∀ t ∈ ↑S, IsIrreducible t
hSU : Set.univ = ⋃₀ ↑S
⊢ s ∈ ↑S

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
s : Set α
hs : s ∈ irreducibleComponents α
S : Finset (Set α)
hSc : ∀ t ∈ ↑S, IsClosed t
hSi : ∀ t ∈ ↑S, IsIrreducible t
hSU : Set.univ = ⋃₀ ↑S
t : Set α
htS : t ∈ S
ht : s ⊆ t
⊢ s ∈ ↑S

rcases isIrreducible_iff_sUnion_closed.1 hs.1 S hSc (hSU ▸ Set.subset_univ _) with ⟨t, htS, ht⟩


R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ : ↥S
r' : R
s' : ↥S
huv : ↑s' * r₁ = r' * ↑s₂
⊢ (r₁ /ₒ s₁) • (r₂ /ₒ s₂) = r' • r₂ /ₒ (s' * s₁)

with_unfolding_all exact smul'_char r₁ r₂ s₁ s₂ s' r' huv


B : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝¹ : (x : B) → Zero (E₁ x)
inst✝ : (x : B) → Zero (E₂ x)
x : TotalSpace (F₁ × F₂) fun x => E₁ x × E₂ x
h : x ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet)
⊢ invFun' e₁ e₂ (toFun' e₁ e₂ x) = x

case mk.mk
B : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝¹ : (x : B) → Zero (E₁ x)
inst✝ : (x : B) → Zero (E₂ x)
x : B
v₁ : E₁ x
v₂ : E₂ x
h : { proj := x, snd := (v₁, v₂) } ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet)
⊢ invFun' e₁ e₂ (toFun' e₁ e₂ { proj := x, snd := (v₁, v₂) }) = { proj := x, snd := (v₁, v₂) }

case mk.mk.intro
B : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝¹ : (x : B) → Zero (E₁ x)
inst✝ : (x : B) → Zero (E₂ x)
x : B
v₁ : E₁ x
v₂ : E₂ x
h₁ : x ∈ e₁.baseSet
h₂ : x ∈ e₂.baseSet
⊢ invFun' e₁ e₂ (toFun' e₁ e₂ { proj := x, snd := (v₁, v₂) }) = { proj := x, snd := (v₁, v₂) }

obtain ⟨h₁ : x ∈ e₁.baseSet, h₂ : x ∈ e₂.baseSet⟩ := h

simp only [Prod.toFun', Prod.invFun', symm_apply_apply_mk, h₁, h₂]


V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v✝ : V
f : G ≃g G'
v : V
w : ↑(G'.neighborSet (f v))
⊢ f.symm ↑w ∈ G.neighborSet v

simpa [RelIso.symm_apply_apply] using f.symm.apply_mem_neighborSet_iff.mpr w.2

V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v✝ : V
f : G ≃g G'
v : V
w : ↑(G.neighborSet v)
⊢ (fun w => ⟨f.symm ↑w, ⋯⟩) ((fun w => ⟨f ↑w, ⋯⟩) w) = w

V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v✝ : V
f : G ≃g G'
v : V
w : ↑(G'.neighborSet (f v))
⊢ (fun w => ⟨f ↑w, ⋯⟩) ((fun w => ⟨f.symm ↑w, ⋯⟩) w) = w


G : Type u_1
inst✝ : Group G
H✝ K : Subgroup G
S T : Set G
H' H : Subgroup G
h : H' ≤ H
⊢ ∃ S, S * ↑H' = ↑H ∧ Nat.card ↑S * Nat.card ↥H' = Nat.card ↥H

G : Type u_1
inst✝ : Group G
H✝ K : Subgroup G
S T : Set G
H' H : Subgroup G
h : H' ≤ H
H'' : Subgroup ↥H := comap H.subtype H'
⊢ ∃ S, S * ↑H' = ↑H ∧ Nat.card ↑S * Nat.card ↥H' = Nat.card ↥H

let H'' : Subgroup H := H'.comap H.subtype

G : Type u_1
inst✝ : Group G
H✝ K : Subgroup G
S T : Set G
H' H : Subgroup G
h : H' ≤ H
H'' : Subgroup ↥H := comap H.subtype H'
this : H' = map H.subtype H''
⊢ ∃ S, S * ↑H' = ↑H ∧ Nat.card ↑S * Nat.card ↥H' = Nat.card ↥H

have : H' = H''.map H.subtype := by simp [H'', h]

G : Type u_1
inst✝ : Group G
H✝ K : Subgroup G
S T : Set G
H' H : Subgroup G
h : H' ≤ H
H'' : Subgroup ↥H := comap H.subtype H'
this : H' = map H.subtype H''
⊢ ∃ S, S * ↑(map H.subtype H'') = ↑H ∧ Nat.card ↑S * Nat.card ↥(map H.subtype H'') = Nat.card ↥H

case intro.intro
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H✝ K : Subgroup G
S✝ T : Set G
H' H : Subgroup G
h : H' ≤ H
H'' : Subgroup ↥H := comap H.subtype H'
this : H' = map H.subtype H''
S : Set ↥H
cmem : S ∈ leftTransversals ↑H''
⊢ ∃ S, S * ↑(map H.subtype H'') = ↑H ∧ Nat.card ↑S * Nat.card ↥(map H.subtype H'') = Nat.card ↥H

obtain ⟨S, cmem, -⟩ := H''.exists_left_transversal 1

case intro.intro.refine_1
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H✝ K : Subgroup G
S✝ T : Set G
H' H : Subgroup G
h : H' ≤ H
H'' : Subgroup ↥H := comap H.subtype H'
this : H' = map H.subtype H''
S : Set ↥H
cmem : S ∈ leftTransversals ↑H''
⊢ ⇑H.subtype '' S * ↑(map H.subtype H'') = ↑H

case intro.intro.refine_2
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H✝ K : Subgroup G
S✝ T : Set G
H' H : Subgroup G
h : H' ≤ H
H'' : Subgroup ↥H := comap H.subtype H'
this : H' = map H.subtype H''
S : Set ↥H
cmem : S ∈ leftTransversals ↑H''
⊢ Nat.card ↑(⇑H.subtype '' S) * Nat.card ↥(map H.subtype H'') = Nat.card ↥H


R : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne R
⊢ 3 + 1 = 4

R : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne R
⊢ ↑(1 + 1 + 1 + 1) = 4

rw [← two_add_one_eq_three, ← one_add_one_eq_two, ← Nat.cast_one,
    ← Nat.cast_add, ← Nat.cast_add, ← Nat.cast_add]

case h
R : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne R
⊢ 1 + 1 + 1 + 1 = 4


R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S
r : S
x : P.Ring
i : P.vars
⊢ (P.cotangentSpaceBasis.repr (r ⊗ₜ[P.Ring] (D R P.Ring) x)) i = r * (aeval P.val) ((pderiv i) x)

classical
  simp only [cotangentSpaceBasis, Basis.baseChange_repr_tmul, mvPolynomialBasis_repr_apply,
    Algebra.smul_def, mul_comm r]
  rfl


α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, A i =O[l] g
⊢ (fun x => ∑ i ∈ s, A i x) =O[l] g

α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, ∃ c, IsBigOWith c l (A i) g
⊢ ∃ c, IsBigOWith c l (fun x => ∑ i ∈ s, A i x) g

α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C✝ : ι → ℝ
s : Finset ι
C : ι → ℝ
hC : ∀ i ∈ s, IsBigOWith (C i) l (A i) g
⊢ ∃ c, IsBigOWith c l (fun x => ∑ i ∈ s, A i x) g


R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hp : p.Monic
⊢ (Polynomial.map f p).Monic

R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hp : p.Monic
⊢ (Polynomial.map f p).leadingCoeff = 1

R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hp : p.Monic
a✝ : Nontrivial S
⊢ (Polynomial.map f p).leadingCoeff = 1

R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hp : p.Monic
a✝ : Nontrivial S
this : f p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ (Polynomial.map f p).leadingCoeff = 1

have : f p.leadingCoeff ≠ 0 := by
    rw [show _ = _ from hp, f.map_one]
    exact one_ne_zero

R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hp : p.Monic
a✝ : Nontrivial S
this : f p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ f (p.coeff (Polynomial.map f p).natDegree) = 1

R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hp : p.Monic
a✝ : Nontrivial S
this : f p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ p.coeff (Polynomial.map f p).natDegree = 1

suffices p.coeff (p.map f).natDegree = 1 by simp [this]

rwa [natDegree_eq_of_degree_eq (degree_map_eq_of_leadingCoeff_ne_zero f this)]


ι : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : ι → Type u_4
β : ι → Type u_5
γ : ι → Type u_6
x y : (i : ι) → α i
i✝ : ι
inst✝² : (i : ι) → SMul M (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
i : ι
inst✝ : FaithfulSMul M (α i)
m₁✝ m₂✝ : M
h : ∀ (a : (i : ι) → α i), m₁✝ • a = m₂✝ • a
a : α i
⊢ m₁✝ • a = m₂✝ • a

classical
    simpa using
      congr_fun (h <| Function.update (fun j => Classical.choice (‹∀ i, Nonempty (α i)› j)) i a) i


d : ℕ
a b c : ℤ√↑d
h : c + a ≤ c + b
⊢ a ≤ b

simpa using Zsqrtd.add_le_add_left _ _ h (-c)