The algorithm efficiently solves the problem.

అల్గారిథం సమర్థవంతంగా సమస్యను పరిష్కరిస్తుంది.


Can you explain the concept in simpler terms?

మీరు ఈ భావనను సులభమైన పదాలలో వివరించగలరా?


The research paper presents a novel approach.

పరిశోధనా పత్రం ఒక కొత్త విధానాన్ని అందిస్తుంది.


The company is investing heavily in new technologies.

కొత్త సాంకేతికతలలో కంపెనీ భారీగా పెట్టుబడి పెడుతోంది.


సవాళ్లు ఉన్నప్పటికీ, వారు విజయం సాధించారు.


The data analysis revealed interesting patterns.

డేటా విశ్లేషణ ఆసక్తికరమైన నమూనాలను వెల్లడించింది.


వచ్చే వారం సమావేశం జరుగుతుంది.


అతను ఆ రంగంలో పేరుగాంచిన నిపుణుడు.


సాఫ్ట్‌వేర్‌కు తరచుగా నవీకరణలు అవసరం.


ఆర్థిక సూచన ఆశాజనకంగా ఉంది.


The algorithm's efficiency is a key factor.

అల్గారిథం యొక్క సామర్థ్యం ఒక ముఖ్యమైన అంశం.


ప్రాజెక్ట్ అనేక ఆటంకాలను ఎదుర్కొంది.


The results were statistically significant.

ఫలితాలు గణాంకపరంగా ముఖ్యమైనవి.


The company is expanding its operations globally.

కంపెనీ తన కార్యకలాపాలను ప్రపంచవ్యాప్తంగా విస్తరిస్తోంది.


The study explores the impact of social media.

ఈ అధ్యయనం సోషల్ మీడియా ప్రభావాన్ని అన్వేషిస్తుంది.


The system is designed for high performance.

సిస్టమ్ అధిక పనితీరు కోసం రూపొందించబడింది.


ప్రభుత్వం కొత్త విధానాలను ప్రకటించింది.


The team worked collaboratively on the project.

బృందం ప్రాజెక్ట్‌లో సహకారంతో పనిచేసింది.


The technology has the potential to revolutionize the industry.

ఈ సాంకేతికత పరిశ్రమలో విప్లవాత్మక మార్పులు తీసుకురాగల సామర్థ్యాన్ని కలిగి ఉంది.


The implications of the findings are far-reaching.

ఈ పరిశోధనల యొక్క పరిణామాలు చాలా దూరదృష్టితో కూడుకున్నవి.


The algorithm efficiently sorts the data.

అల్గారిథం డేటాను సమర్థవంతంగా క్రమబద్ధీకరిస్తుంది.


She enjoys reading books in the evening.

ఆమె సాయంత్రం పుస్తకాలు చదవడం ఆనందిస్తుంది.


The company announced a new product launch.

కంపెనీ కొత్త ఉత్పత్తిని ప్రారంభించినట్లు ప్రకటించింది.


Could you please help me with this task?

దయచేసి మీరు ఈ పనిలో నాకు సహాయం చేయగలరా?


The research paper explores complex topics.

పరిశోధనా పత్రం సంక్లిష్టమైన అంశాలను అన్వేషిస్తుంది.


The weather forecast predicts rain tomorrow.

రేపు వర్షం కురుస్తుందని వాతావరణ సూచన చెబుతోంది.


He is a highly skilled software engineer.

అతను అత్యంత నైపుణ్యం కలిగిన సాఫ్ట్‌వేర్ ఇంజనీర్.


వచ్చే వారం సమావేశం జరుగుతుంది.


The government implemented new policies.

ప్రభుత్వం కొత్త విధానాలను అమలు చేసింది.


I need to buy groceries for the weekend.

నాకు వారాంతానికి కిరాణా సామాగ్రి కొనాలి.


The algorithm's time complexity is a crucial factor.

అల్గారిథం యొక్క సమయ సంక్లిష్టత ఒక ముఖ్యమైన అంశం.


ఆమె బహుళ భాషలలో అనర్గళంగా మాట్లాడుతుంది.


The economic situation is improving gradually.

ఆర్థిక పరిస్థితి క్రమంగా మెరుగుపడుతోంది.


Can you explain the concept in simpler terms?

మీరు ఈ భావనను సులభమైన పదాలలో వివరించగలరా?


The project requires careful planning and execution.

ఈ ప్రాజెక్ట్ జాగ్రత్తగా ప్రణాళిక మరియు అమలును కోరుతుంది.


The price of gasoline has increased significantly.

గ్యాసోలిన్ ధర బాగా పెరిగింది.


He is passionate about environmental conservation.

అతను పర్యావరణ పరిరక్షణపై మక్కువ చూపిస్తాడు.


The conference brought together experts from various fields.

ఈ సమావేశం వివిధ రంగాల నిపుణులను ఒకచోట చేర్చింది.


వారాంతం కోసం ఎదురు చూస్తున్నాను.


The algorithm uses recursion to solve the problem.

సమస్యను పరిష్కరించడానికి అల్గారిథం పునరావృతం ఉపయోగిస్తుంది.


Finding the shortest path in a graph is a fundamental problem in computer science.

గ్రాఫ్ లో అతి తక్కువ మార్గాన్ని కనుగొనడం కంప్యూటర్ సైన్స్ లో ఒక ప్రాథమిక సమస్య.


The time hierarchy theorem is a key concept in computational complexity.

సమయ శ్రేణి సిద్ధాంతం గణన సంక్లిష్టతలో ఒక ముఖ్యమైన భావన.


Can uniform algorithms simulate non-uniform ones?

ఏకరీతి అల్గారిథమ్‌లు ఏకరీతి లేని వాటిని అనుకరించగలవా?


The Cook-Levin Theorem is a cornerstone of NP-completeness.

కూక్-లెవిన్ సిద్ధాంతం NP-సంపూర్ణతకు మూలస్తంభం.


P, NPకి సమానంగా ఉంటే ఏమవుతుంది?


ఈ రోజు వాతావరణం చాలా ఆహ్లాదకరంగా ఉంది.


ఈ మధ్యాహ్నం నేను కిరాణా సామాగ్రి కొనాలి.


ఆమె లైబ్రరీలో ఒక పుస్తకం చదువుతోంది.


The company announced a new product launch.

కంపెనీ ఒక కొత్త ఉత్పత్తిని ప్రారంభించినట్లు ప్రకటించింది.


The stock market experienced a significant drop.

షేర్ మార్కెట్ లో గణనీయమైన పతనం నమోదైంది.


The algorithm's efficiency is crucial for large datasets.

పెద్ద డేటాసెట్‌ల కోసం అల్గారిథమ్ యొక్క సామర్థ్యం చాలా ముఖ్యం.


Understanding the nuances of quantum computing requires advanced knowledge.

క్వాంటం కంప్యూటింగ్ యొక్క సూక్ష్మ నైపుణ్యాలను అర్థం చేసుకోవడానికి అధునాతన పరిజ్ఞానం అవసరం.


The government is implementing new policies.

ప్రభుత్వం కొత్త విధానాలను అమలు చేస్తోంది.


ఈ సమస్యలో మీరు నాకు సహాయం చేయగలరా?


సమావేశం వచ్చే వారం జరుగుతుంది.


The complexity of the problem is still being analyzed.

సమస్య యొక్క సంక్లిష్టత ఇంకా విశ్లేషించబడుతోంది.


The research paper explores the latest advancements.

పరిశోధనా పత్రం తాజా పురోగతిని అన్వేషిస్తుంది.


ప్రాజెక్ట్ నిపుణుల బృందం అవసరం.


The algorithm's performance was significantly improved.

అల్గారిథమ్ యొక్క పనితీరు గణనీయంగా మెరుగుపడింది.


The implications of this discovery are far-reaching.

ఈ ఆవిష్కరణ యొక్క పరిణామాలు చాలా దూరం వరకు ఉన్నాయి.


పాఠ్యపుస్తకం ఆన్‌లైన్‌లో అందుబాటులో ఉంది.


Please post any issues on the GitHub repository.

ఏవైనా సమస్యలు ఉంటే GitHub రిపోజిటరీలో పోస్ట్ చేయండి.


ఈ వెర్షన్ బుధవారం నాడు కంపైల్ చేయబడింది.


The book is licensed under a Creative Commons license.

ఈ పుస్తకం క్రియేటివ్ కామన్స్ లైసెన్స్ క్రింద లైసెన్స్ చేయబడింది.


The contents include preface, preliminaries, and several chapters.

విషయ సూచికలో ముందుమాట, ప్రాథమికాంశాలు మరియు అనేక అధ్యాయాలు ఉన్నాయి.


Chapter 1 covers mathematical background.

అధ్యాయం 1 గణిత నేపథ్యాన్ని వివరిస్తుంది.


We will explore computation and representation in this section.

ఈ విభాగంలో మనం గణన మరియు ప్రాతినిధ్యాన్ని అన్వేషిస్తాము.


Finite computation is discussed in Part I.

ఫైనైట్ గణన భాగాం I లో చర్చించబడింది.


The book delves into efficient algorithms.

ఈ పుస్తకం సమర్థవంతమైన అల్గారిథమ్‌లను లోతుగా వివరిస్తుంది.


Randomized computation is another key topic.

యాదృచ్ఛిక గణన మరొక ముఖ్యమైన అంశం.


Cryptography is one of the advanced topics covered.

క్రిప్టోగ్రఫీ అనేది చర్చించబడిన అధునాతన అంశాలలో ఒకటి.


The student should read the preface carefully.

విద్యార్థి ముందుమాటను జాగ్రత్తగా చదవాలి.


ప్రయత్నం విలువైనదేనా?


The author thanks Ravit, Alma and Goren.

రచయిత రవిత్, అల్మా మరియు గోరెన్‌లకు కృతజ్ఞతలు తెలుపుతున్నాడు.


This chapter serves as a reader's manual.

ఈ అధ్యాయం పాఠకుడి మాన్యువల్‌గా పనిచేస్తుంది.


Understanding mathematical prerequisites is crucial.

గణిత పూర్వ అవసరాలను అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం.


The chapter discusses basic discrete math objects.

అధ్యాయం ప్రాథమిక వివిక్త గణిత వస్తువులను చర్చిస్తుంది.


We will cover sets, functions, and graphs.

మనం సెట్‌లు, ఫంక్షన్‌లు మరియు గ్రాఫ్‌లను కవర్ చేస్తాము.


The book uses Big-O notation for asymptotics.

పుస్తకం అసింప్టోటిక్స్ కోసం బిగ్-ఓ సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగిస్తుంది.


Proofs and programs are closely related.

ప్రూఫ్‌లు మరియు ప్రోగ్రామ్‌లు దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉంటాయి.


The book introduces students to a new way of thinking about computation.

ఈ పుస్తకం విద్యార్థులకు కంప్యూటేషన్ గురించి కొత్తగా ఆలోచించే విధానాన్ని పరిచయం చేస్తుంది.


Computation arises in various natural and human-made systems.

కంప్యూటేషన్ వివిధ సహజ మరియు మానవ నిర్మిత వ్యవస్థలలో ఏర్పడుతుంది.


The notion of universality of many different computational models is important.

అనేక విభిన్న కంప్యూటేషనల్ నమూనాల యొక్క విశ్వవ్యాప్త భావన ముఖ్యం.


We can precisely define a mathematical model of computation.

మనం కంప్యూటేషన్ యొక్క గణిత నమూనాను ఖచ్చితంగా నిర్వచించవచ్చు.


Some problems are inherently intractable.

కొన్ని సమస్యలు స్వతహాగా పరిష్కరించడానికి కష్టమైనవి.


We can use computational hardness for cryptographic purposes.

మనం క్రిప్టోగ్రాఫిక్ అవసరాల కోసం కంప్యూటేషనల్ కఠినత్వాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.


This book aims to introduce students to a new way of thinking.

ఈ పుస్తకం విద్యార్థులకు కొత్తగా ఆలోచించే విధానాన్ని పరిచయం చేయడానికి లక్ష్యంగా పెట్టుకుంది.


The formal notation and model help elucidate the main ideas.

సాంప్రదాయక సంజ్ఞామానం మరియు నమూనా ప్రధాన ఆలోచనలను స్పష్టం చేయడానికి సహాయపడతాయి.


The book does not assume fluency with any particular programming language.

ఈ పుస్తకం ఏదైనా నిర్దిష్ట ప్రోగ్రామింగ్ భాషతో ప్రావీణ్యాన్ని ఊహించదు.


Proofs in this book are often constructive and algorithmic.

ఈ పుస్తకంలోని రుజువులు తరచుగా నిర్మాణాత్మకమైనవి మరియు అల్గోరిథమిక్.


The accompanying website allows executing programs.

అనుబంధ వెబ్‌సైట్ ప్రోగ్రామ్‌లను అమలు చేయడానికి అనుమతిస్తుంది.


ఈ పుస్తకం సవాలుగా ఉంటుంది.


The best way to engage with this material is to read actively.

ఈ మెటీరియల్‌తో పాల్గొనడానికి ఉత్తమ మార్గం ఏమిటంటే చురుకుగా చదవడం.


Understand the definitions more than the theorems.

теоремాల కంటే నిర్వచనాలను అర్థం చేసుకోండి.


Learning this material is important because it contains beautiful and fundamental concepts.

ఈ మెటీరియల్‌ను నేర్చుకోవడం ముఖ్యం, ఎందుకంటే ఇది అందమైన మరియు ప్రాథమిక భావనలను కలిగి ఉంది.


Computation and information are the basic building blocks to understand the world.

ప్రపంచాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి కంప్యూటేషన్ మరియు సమాచారం ప్రాథమిక బిల్డింగ్ బ్లాక్స్.


Boolean Circuits are more fundamental to the theory of computing than automata.

బూలియన్ సర్క్యూట్‌లు ఆటోమాటాల కంటే కంప్యూటింగ్ సిద్ధాంతానికి మరింత ప్రాథమికమైనవి.


Boolean circuits are a more natural model of computation.

బూలియన్ సర్క్యూట్‌లు కంప్యూటేషన్ యొక్క మరింత సహజమైన నమూనా.


Finite functions are arguably easier to grasp than infinite ones.

అనంతమైన వాటి కంటే పరిమిత విధులు అర్థం చేసుకోవడం సులభం.


The Cook-Levin Theorem can be proven using a handful of lines of Python.

కూక్-లెవిన్ సిద్ధాంతాన్ని కొన్ని లైన్ల పైథాన్‌ని ఉపయోగించి నిరూపించవచ్చు.


అల్గారిథం డేటాను సమర్థవంతంగా క్రమబద్ధీకరిస్తుంది.


Proofs by induction are a fundamental concept in mathematics.

గణితంలో ప్రేరణ ద్వారా నిరూపణలు ఒక ప్రాథమిక భావన.


The theorem is proven using a contradiction.

ఈ సిద్ధాంతాన్ని వ్యతిరేకతను ఉపయోగించి నిరూపించారు.


Let's analyze the running time of this program.

ఈ ప్రోగ్రామ్ యొక్క రన్నింగ్ సమయాన్ని విశ్లేషిద్దాం.


Understanding the problem is the first step.

సమస్యను అర్థం చేసుకోవడం మొదటి మెట్టు.


నిరూపణ స్పష్టంగా మరియు సంక్షిప్తంగా ఉండాలి.


ఇది ఒక సంక్లిష్టమైన గణిత భావన.


The reader should be convinced beyond a doubt.

పాఠకుడు ఎటువంటి సందేహం లేకుండా ఒప్పించాలి.


The program needs to be readable by humans.

ప్రోగ్రామ్ మానవులకు చదవడానికి వీలుగా ఉండాలి.


Practice makes perfect in proof writing.

నిరూపణ రాయడంలో అభ్యాసం పరిపూర్ణతను ఇస్తుంది.


The proof should have a clear logical flow.

నిరూపణ స్పష్టమైన తార్కిక ప్రవాహాన్ని కలిగి ఉండాలి.


This sentence states that some statement is true.

ఈ వాక్యం కొన్ని ప్రకటన నిజమని చెబుతుంది.


Proofs by contradiction are a common pattern.

వ్యతిరేకత ద్వారా నిరూపణలు ఒక సాధారణ నమూనా.


Suppose, towards a contradiction, that X is false.

వ్యతిరేకత దిశగా, X తప్పు అని అనుకుందాం.


For every natural number n, either n or n+1 is even.

ప్రతి సహజ సంఖ్య nకి, n లేదా n+1 సరి సంఖ్య.


A నిజమని అనుకోండి.


b^2 >= 4ac అయితే ఒక పరిష్కారం ఉంది.


కనిష్ట లేయరింగ్ ప్రత్యేకమైనది.


We will use induction on the number of vertices.

మేము శీర్షాల సంఖ్యపై ప్రేరణను ఉపయోగిస్తాము.


The base case is when there are no vertices.

బేస్ కేసులో శీర్షాలు లేవు.


If F ∶ S → T satisfies that F(x) ≠ F(y) for all x ≠ y then we say that F is one-to-one.

F ∶ S → T ప్రతి x ≠ y కోసం F(x) ≠ F(y)ని సంతృప్తిపరిస్తే, అప్పుడు F ఒకే విధంగా ఉంటుందని మేము చెబుతాము.


A function that is both one- to-one and onto is known as a bijective function or simply a bijection.

ఒకే విధంగా మరియు ఆన్టోగా ఉండే ఫంక్షన్‌ను బైజెక్టివ్ ఫంక్షన్ లేదా సాధారణంగా బైజక్షన్ అని పిలుస్తారు.


Giving a bijection between two sets is often a good way to show they have the same size.

రెండు సెట్‌ల మధ్య బైజక్షన్ ఇవ్వడం తరచుగా అవి ఒకే పరిమాణంలో ఉన్నాయని చూపించడానికి ఒక మంచి మార్గం.


We can represent finite functions as a directed graph where we put an edge from x to f(x).

x నుండి f(x) వరకు అంచును ఉంచే దర్శక గ్రాఫ్‌లుగా పరిమిత ఫంక్షన్‌లను మనం సూచించవచ్చు.


The onto condition corresponds to requiring that every vertex in the codomain of the function has in-degree at least one.

ఆన్టో పరిస్థితి ఫంక్షన్ యొక్క కోడొమైన్‌లో ప్రతి శీర్షానికి కనీసం ఒకటి ఇన్‌డిగ్రీని కలిగి ఉండాలని కోరుకోవడానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.


The one-to-one condition corresponds to requiring that every vertex in the codomain of the function has in-degree at most one.

ఒకే విధంగా ఉండే పరిస్థితి ఫంక్షన్ యొక్క కోడొమైన్‌లో ప్రతి శీర్షానికి గరిష్టంగా ఒకటి ఇన్‌డిగ్రీని కలిగి ఉండాలని కోరుకోవడానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.


In the examples above F is an onto function, G is one to one, and H is neither onto nor one to one.

పై ఉదాహరణలలో F ఒక ఆన్టో ఫంక్షన్, G ఒకే విధంగా ఉంది మరియు H ఆన్టో లేదా ఒకే విధంగా లేదు.


A partial function is allowed to be undefined on some subset of S.

పాక్షిక ఫంక్షన్ S యొక్క కొన్ని ఉపసమితిలో నిర్వచించబడకుండా ఉండటానికి అనుమతించబడుతుంది.


For example, the partial function F(x) = √x is only defined on non-negative real numbers.

ఉదాహరణకు, పాక్షిక ఫంక్షన్ F(x) = √x అనేది రుణాత్మకం కాని వాస్తవ సంఖ్యలపై మాత్రమే నిర్వచించబడింది.


When we say “function” without any qualifier then we mean a total function.

మేము అర్హత లేకుండా “ఫంక్షన్” అని చెప్పినప్పుడు, మేము మొత్తం ఫంక్షన్‌ను అర్థం చేసుకుంటాము.


If F ∶ S → T and G ∶ T → U are one-to-one functions, then their composition H ∶ S → U defined as H(s) = G(F(s)) is also one to one.

F ∶ S → T మరియు G ∶ T → U ఒకే విధంగా ఉండే ఫంక్షన్‌లైతే, వాటి కూర్పు H ∶ S → U, H(s) = G(F(s))గా నిర్వచించబడింది, ఇది కూడా ఒకే విధంగా ఉంటుంది.


If S and T are non-empty finite sets then the following conditions are equivalent to one another.

S మరియు T శూన్యం కాని పరిమిత సమితులు అయితే, కింది షరతులు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి.


Graphs are ubiquitous in Computer Science, and many other fields as well.

గ్రాఫ్‌లు కంప్యూటర్ సైన్స్ మరియు అనేక ఇతర రంగాలలో సర్వత్రా ఉన్నాయి.


Graphs come in two basic flavors: undirected and directed.

గ్రాఫ్‌లు రెండు ప్రాథమిక రుచులలో వస్తాయి: నిర్దేశించనివి మరియు దర్శకత్వం వహించినవి.


An undirected graph G = (V, E) consists of a set V of vertices and a set E of edges.

ఒక నిర్దేశించని గ్రాఫ్ G = (V, E) శీర్షాల సమితి V మరియు అంచుల సమితి Eతో కూడి ఉంటుంది.


We say that two vertices u, v ∈ V are neighbors, if the edge {u, v} is in E.

అంచు {u, v} Eలో ఉంటే, రెండు శీర్షాలు u, v ∈ V పొరుగువారని మేము చెబుతాము.


We define the degree of u to be the number of neighbors u has.

u యొక్క డిగ్రీని u కలిగి ఉన్న పొరుగువారి సంఖ్యగా మేము నిర్వచిస్తాము.


A simple path is a path (u0, ..., uk−1) where all the ui’s are distinct.

ఒక సాధారణ మార్గం (u0, ..., uk−1) మార్గం, ఇక్కడ uiలన్నీ విభిన్నంగా ఉంటాయి.


We say that the graph G is connected if every pair of vertices in it is connected.

గ్రాఫ్ Gలోని ప్రతి జత శీర్షాలు కనెక్ట్ చేయబడితే, గ్రాఫ్ G కనెక్ట్ చేయబడిందని మేము చెబుతాము.


In any undirected graph G = (V, E), the sum of the degrees of all vertices is equal to twice the number of edges.

ఏదైనా నిర్దేశించని గ్రాఫ్ G = (V, E)లో, అన్ని శీర్షాల డిగ్రీల మొత్తం అంచుల సంఖ్యకు రెట్టింపు.


When we write down text or make a drawing we are representing ideas or experiences as sequences of symbols.

మనం వచనం రాసినా లేదా బొమ్మ వేసినా, మనం ఆలోచనలు లేదా అనుభవాలను చిహ్నాల శ్రేణులుగా సూచిస్తున్నాము.


Even our brain does not store the actual sensory inputs we experience, but rather only a representation of them.

మన మెదడు కూడా మనం అనుభవించే వాస్తవమైన ఇంద్రియ ఇన్‌పుట్‌లను నిల్వ చేయదు, కానీ వాటికి ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది.


To use objects such as numbers, images, graphs, or others as inputs for computation, we need to define precisely how to represent these objects as binary strings.

సంఖ్యలు, చిత్రాలు, గ్రాఫ్‌లు లేదా ఇతరులు వంటి వస్తువులను గణన కోసం ఇన్‌పుట్‌లుగా ఉపయోగించడానికి, ఈ వస్తువులను బైనరీ స్ట్రింగ్‌లుగా ఎలా సూచించాలో మనం ఖచ్చితంగా నిర్వచించాలి.


A representation scheme is a way to map an object x to a binary string E(x) ∈ {0,1} *.

ప్రాతినిధ్య పథకం అనేది ఒక వస్తువు x ని బైనరీ స్ట్రింగ్ E(x) ∈ {0,1} *కి మ్యాప్ చేయడానికి ఒక మార్గం.


For example, a representation scheme for natural numbers is a function E : ℕ → {0,1} *.

ఉదాహరణకు, సహజ సంఖ్యల కోసం ఒక ప్రాతినిధ్య పథకం అనేది ఒక ఫంక్షన్ E : ℕ → {0,1} *.


Of course, we cannot merely represent all numbers as the string “0011”.

ఖచ్చితంగా, మనం అన్ని సంఖ్యలను “0011” స్ట్రింగ్‌గా సూచించలేము.


A minimal requirement is that if two numbers x and x' are different then they would be represented by different strings.

రెండు సంఖ్యలు x మరియు x' భిన్నంగా ఉంటే, అవి వేర్వేరు స్ట్రింగ్‌ల ద్వారా సూచించబడాలి.


Another way to say this is that we require the encoding function E to be one to one.

దీనిని చెప్పడానికి మరొక మార్గం ఏమిటంటే, ఎన్‌కోడింగ్ ఫంక్షన్ E ఒకటి నుండి ఒకటిగా ఉండాలని మేము కోరుకుంటున్నాము.


Representing each one the digits 0,1,2,...,9 as a 12 × 8 bitmap image.

అంకెలలో ప్రతి ఒక్కటి 0,1,2,...,9ని 12 × 8 బిట్‌మ్యాప్ చిత్రంగా సూచించడం.


Using this scheme we can represent a natural number x of n decimal digits as a string in {0,1}96n.

ఈ పథకాన్ని ఉపయోగించి, మనం n దశాంశ అంకెల సహజ సంఖ్య x ని {0,1}96n లో స్ట్రింగ్‌గా సూచించవచ్చు.


We now show how we can represent natural numbers as binary strings.

ఇప్పుడు మనం సహజ సంఖ్యలను బైనరీ స్ట్రింగ్‌లుగా ఎలా సూచించవచ్చో చూపిస్తాము.


We can use any one of those as well as many others to represent a number as a string.

ఒక సంఖ్యను స్ట్రింగ్‌గా సూచించడానికి వాటిలో దేనినైనా అలాగే మరెన్నో ఉపయోగించవచ్చు.


However, for the sake of concreteness, we use the binary basis as our default representation of natural numbers as strings.

అయితే, స్పష్టత కోసం, మేము సహజ సంఖ్యలను స్ట్రింగ్‌లుగా సూచించడానికి మా డిఫాల్ట్ ప్రాతినిధ్యంగా బైనరీ ఆధారాన్ని ఉపయోగిస్తాము.


For example, we represent the number six as the string 110 since 1⋅2^2 +1⋅2^1 +0⋅2^0 = 6.

ఉదాహరణకు, మనం ఆరు సంఖ్యను 110 స్ట్రింగ్‌గా సూచిస్తాము, ఎందుకంటే 1⋅2^2 +1⋅2^1 +0⋅2^0 = 6.


If n is even, then the least significant digit of n’s binary representation is 0, while if n is odd then this digit equals 1.

n సరి సంఖ్య అయితే, n యొక్క బైనరీ ప్రాతినిధ్యం యొక్క తక్కువ ముఖ్యమైన అంకె 0, అయితే n బేసి అయితే ఈ అంకె 1కి సమానం.


The function computation and representation NtS is defined recursively.

ఫంక్షన్ గణన మరియు ప్రాతినిధ్యం NtS పునరావృతంగా నిర్వచించబడింది.


Throughout most of this book, the particular choices of representation of numbers as binary strings would not matter much.

ఈ పుస్తకంలో చాలా వరకు, సంఖ్యలను బైనరీ స్ట్రింగ్‌లుగా సూచించే నిర్దిష్ట ఎంపికలు పెద్దగా పట్టించుకోవు.


We can implement the binary representation in Python as follows.

మనం ఈ విధంగా పైథాన్‌లో బైనరీ ప్రాతినిధ్యాన్ని అమలు చేయవచ్చు.


We can also use Python to implement the inverse transformation, mapping a string back to the natural number it represents.

ఒక స్ట్రింగ్‌ను అది సూచించే సహజ సంఖ్యకు మ్యాప్ చేస్తూ, వ్యతిరేక రూపాన్ని అమలు చేయడానికి కూడా మనం పైథాన్‌ను ఉపయోగించవచ్చు.


It is natural for us to think of 236 as the “actual” number, and of 11101100 as “merely” its representation.

236ని “నిజమైన” సంఖ్యగా మరియు 11101100ని “కేవలం” దాని ప్రాతినిధ్యంగా భావించడం మనకు సహజం.


If a vertex has in-neighbors, then there exists an in-neighbor such that f(u) = f(v) - 1.

ఒక శీర్షానికి ఇన్-నైబర్స్ ఉంటే, అప్పుడు f(u) = f(v) - 1 అయ్యేలా ఒక ఇన్-నైబర్ u ఉంటుంది.


For every layering f, g : V → ℕ of G, if both f and g are minimal then f = g.

G యొక్క ప్రతి లేయరింగ్ f, g : V → ℕ కోసం, f మరియు g రెండూ కనిష్టంగా ఉంటే, అప్పుడు f = g.


The definition of minimality in Theorem 1.26 implies that for every vertex v ∈ V, we cannot move it to a lower layer without making the layering invalid.

theorem 1.26 లో కనిష్టత యొక్క నిర్వచనం ప్రతి శీర్షం v ∈ V కోసం, లేయరింగ్‌ను చెల్లనిదిగా చేయకుండా, దానిని దిగువ లేయర్‌కు తరలించలేమని సూచిస్తుంది.


If v is a source (i.e., has in-degree zero) then a minimal layering f must put it in layer 0.

v ఒక మూలం అయితే (అంటే, సున్నా ఇన్-డిగ్రీని కలిగి ఉంటే) అప్పుడు కనిష్ట లేయరింగ్ f దానిని లేయర్ 0 లో ఉంచాలి.


For every other v, if f(v) = i, then we cannot modify this to set f(v) ≤ i - 1 since there is an in-neighbor u of v satisfying f(u) = i - 1.

ఇతర ప్రతి v కోసం, f(v) = i అయితే, f(u) = i - 1 ను సంతృప్తిపరిచే v యొక్క ఇన్-నైబర్ u ఉన్నందున, దీనిని f(v) ≤ i - 1 సెట్ చేయడానికి మనం సవరించలేము.


What Theorem 1.26 says is that a minimal layering f is unique in the sense that every other minimal layering is equal to f.

theorem 1.26 ఏమి చెబుతుందంటే, కనిష్ట లేయరింగ్ f అనేది ప్రత్యేకమైనది, అంటే ప్రతి ఇతర కనిష్ట లేయరింగ్ fకి సమానం.


Proof Idea: The idea is to prove the theorem by induction on the layers.

ప్రూఫ్ ఆలోచన: పొరలపై ప్రేరణ ద్వారా సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించాలనేది ఆలోచన.


If f and g are minimal then they must agree on the source vertices, since both f and g should assign these vertices to layer 0.

f మరియు g కనిష్టంగా ఉంటే, అవి మూల శీర్షాలపై అంగీకరించాలి, ఎందుకంటే f మరియు g రెండూ ఈ శీర్షాలను లేయర్ 0కి కేటాయించాలి.


We can then show that if f and g agree up to layer i-1, then the minimality property implies that they need to agree in layer i as well.

అప్పుడు f మరియు g లేయర్ i-1 వరకు అంగీకరిస్తే, కనిష్టత లక్షణం వారు లేయర్ iలో కూడా అంగీకరించాలి అని సూచిస్తుంది.


In the actual proof we use a small trick to save on writing.

నిజమైన రుజువులో, రాయడం ఆదా చేయడానికి మేము ఒక చిన్న ఉపాయాన్ని ఉపయోగిస్తాము.


Rather than proving the statement that f = g (or in other words that f(v) = g(v) for every v ∈ V), we prove the weaker statement that f(v) ≤ g(v) for every v ∈ V.

f = g అని నిరూపించడానికి బదులుగా (లేదా ఇతర మాటలలో ప్రతి v ∈ V కోసం f(v) = g(v)), మేము ప్రతి v ∈ V కోసం f(v) ≤ g(v) అని బలహీనమైన ప్రకటనను నిరూపిస్తాము.


However, since f and g are just labels we give to two minimal layerings, by simply changing the names “f” and “g” the same proof also shows that g(v) ≤ f(v) for every v ∈ V and hence that f = g.

అయితే, f మరియు g అనేవి రెండు కనిష్ట లేయరింగ్‌లకు మనం ఇచ్చే లేబుల్‌లు మాత్రమే కాబట్టి, “f” మరియు “g” అనే పేర్లను మార్చడం ద్వారా, అదే రుజువు ప్రతి v ∈ V కోసం g(v) ≤ f(v) అని మరియు అందువలన f = g అని కూడా చూపిస్తుంది.


Let G = (V, E) be a DAG and f, g : V → ℕ be two minimal valid layerings of G.

G = (V, E) ఒక DAG మరియు f, g : V → ℕ G యొక్క రెండు కనిష్ట చెల్లుబాటు అయ్యే లేయరింగ్‌లు అని అనుకుందాం.


We will prove that for every v ∈ V, f(v) ≤ g(v).

ప్రతి v ∈ V కోసం, f(v) ≤ g(v) అని మేము నిరూపిస్తాము.


Since we didn’t assume anything about f, g except their minimality, the same proof will imply that for every v ∈ V, g(v) ≤ f(v) and hence that f(v) = g(v) for every v ∈ V, which is what we needed to show.

మేము f, g ల కనిష్టత తప్ప మరేమీ ఊహించలేదు కాబట్టి, అదే రుజువు ప్రతి v ∈ V కోసం g(v) ≤ f(v) అని మరియు అందువలన ప్రతి v ∈ V కోసం f(v) = g(v) అని సూచిస్తుంది, ఇది మనం చూపించాల్సినది.


We will prove that f(v) ≤ g(v) for every v ∈ V by induction on i = f(v).

i = f(v) పై ప్రేరణ ద్వారా ప్రతి v ∈ V కోసం f(v) ≤ g(v) అని మేము నిరూపిస్తాము.


The case i = 0 is immediate: since in this case f(v) = 0, g(v) must be at least f(v).

i = 0 సందర్భం తక్షణమే: ఈ సందర్భంలో f(v) = 0 కాబట్టి, g(v) కనీసం f(v) ఉండాలి.


For the case i > 0, by the minimality of f, if f(v) = i then there must exist some in-neighbor u of v such that f(u) = i - 1.

i > 0 సందర్భంలో, f యొక్క కనిష్టత ద్వారా, f(v) = i అయితే, f(u) = i - 1 అయ్యేలా v యొక్క కొన్ని ఇన్-నైబర్ u ఉండాలి.


By the induction hypothesis we get that g(u) ≥ i - 1, and since g is a valid layering it must hold that g(v) > g(u) which means that g(v) ≥ i = f(v).

ప్రేరణ పరికల్పన ద్వారా g(u) ≥ i - 1 అని మనకు తెలుస్తుంది, మరియు g ఒక చెల్లుబాటు అయ్యే లేయరింగ్ కాబట్టి g(v) > g(u) అని ఉండాలి, అంటే g(v) ≥ i = f(v).


The function d is constructed such that d is not equal to StF(x) for every x in {0,1}*.

ప్రతి x ∈ {0,1}* కోసం d, StF(x)కి సమానంగా ఉండకుండా ఫంక్షన్ dని నిర్మిస్తారు.


We can think of this as building a table where the columns correspond to numbers m ∈ ℕ and the rows correspond to x ∈ {0,1}*.

దీనిని మనం ఒక పట్టికను నిర్మించడంలా భావించవచ్చు, ఇక్కడ నిలువు వరుసలు సంఖ్యలు m ∈ ℕకి అనుగుణంగా ఉంటాయి మరియు అడ్డు వరుసలు x ∈ {0,1}*కి అనుగుణంగా ఉంటాయి.


If the entry in the x-th row and the m-th column corresponds to g(m) where g = StF(x) then d is obtained by going over the “diagonal” elements in this table.

x-వ వరుస మరియు m-వ కాలమ్‌లోని ఎంట్రీ g(m)కి అనుగుణంగా ఉంటే, g = StF(x) అయితే, ఈ పట్టికలోని “వికర్ణ” మూలకాలపై వెళ్లడం ద్వారా d పొందబడుతుంది.


The proof of Lemma 2.8 is rather subtle.

లెమ్మా 2.8 యొక్క రుజువు చాలా సూక్ష్మమైనది.


One way to get intuition for it is to consider the following finite statement “there is no onto function f : {0,...,99} → {0,1}100”.

దీని కోసం అంతర్బుద్ధిని పొందడానికి ఒక మార్గం ఏమిటంటే, “ఎటువంటి ఆన్టో ఫంక్షన్ f : {0,...,99} → {0,1}100 లేదు” అనే పరిమిత ప్రకటనను పరిగణించడం.


If f was onto, then there would exist some n ∈ [100] such that f(n) = d, but we claim that no such n exists.

f ఆన్టో అయితే, అప్పుడు f(n) = d అయ్యేలా n ∈ [100] ఉంటుంది, కానీ అలాంటి n లేదని మేము వాదిస్తున్నాము.


Indeed, if there was such n, then the n-th coordinate of d would equal f(n)n but by definition this coordinate equals 1 − f(n)n.

నిజానికి, అలాంటి n ఉంటే, d యొక్క n-వ కోఆర్డినేట్ f(n)nకి సమానంగా ఉంటుంది, కానీ నిర్వచనం ప్రకారం ఈ కోఆర్డినేట్ 1 − f(n)nకి సమానం.


We will prove that there does not exist an onto function StF : {0,1}* → {0,1}∞.

StF : {0,1}* → {0,1}∞ అనే ఆన్టో ఫంక్షన్ లేదని మేము నిరూపిస్తాము.


This implies the lemma since for every two sets A and B, there exists an onto function from A to B if and only if there exists a one-to-one function from B to A.

ప్రతి రెండు సెట్‌లు A మరియు B కోసం, A నుండి Bకి ఒక ఆన్టో ఫంక్షన్ ఉంటే మరియు B నుండి Aకి ఒక వన్-టు-వన్ ఫంక్షన్ ఉంటేనే ఈ లెమ్మా వర్తిస్తుంది.


The technique of this proof is known as the “diagonal argument” and is illustrated in Fig. 2.8.

ఈ రుజువు యొక్క సాంకేతికతను “వికర్ణ వాదన” అని పిలుస్తారు మరియు ఇది చిత్రం 2.8లో వివరించబడింది.


We assume, towards a contradiction, that there exists such a function StF : {0,1}* → {0,1}∞.

ఒక వ్యతిరేకత దిశగా, అలాంటి ఫంక్షన్ StF : {0,1}* → {0,1}∞ ఉందని మేము భావిస్తున్నాము.


We will show that StF is not onto by demonstrating a function d ∈ {0,1}∞ such that d ≠ StF(x) for every x ∈ {0,1}*.

ప్రతి x ∈ {0,1}* కోసం d ≠ StF(x) అయ్యేలా d ∈ {0,1}∞ అనే ఫంక్షన్‌ను ప్రదర్శించడం ద్వారా StF ఆన్టో కాదని మేము చూపిస్తాము.


Consider the lexicographic ordering of binary strings (i.e., "", 0, 1, 00, 01,...).

బైనరీ స్ట్రింగ్‌ల యొక్క లెక్సికోగ్రాఫిక్ క్రమాన్ని పరిగణించండి (అంటే, "", 0, 1, 00, 01,...).


For every n ∈ ℕ, we let xn be the n-th string in this order.

ప్రతి n ∈ ℕ కోసం, మనం xnని ఈ క్రమంలో n-వ స్ట్రింగ్‌గా తీసుకుంటాము.


That is x0 = "", x1 = 0, x2 = 1 and so on and so forth.

అంటే x0 = "", x1 = 0, x2 = 1 మరియు ఇలాగే కొనసాగుతుంది.


We define the function d ∈ {0,1}∞ as follows: d(n) = 1−StF(xn)(n) for every n ∈ ℕ.

మనం ఫంక్షన్ d ∈ {0,1}∞ని ఈ విధంగా నిర్వచిస్తాము: ప్రతి n ∈ ℕ కోసం d(n) = 1−StF(xn)(n).


That is, to compute d on input n ∈ ℕ, we first compute g = StF(xn), where xn ∈ {0,1}* is the n-th string in the lexicographical ordering.

అంటే, n ∈ ℕ ఇన్‌పుట్‌పై dని లెక్కించడానికి, మనం మొదట g = StF(xn)ని లెక్కిస్తాము, ఇక్కడ xn ∈ {0,1}* అనేది లెక్సికోగ్రాఫికల్ క్రమంలో n-వ స్ట్రింగ్.


The value d(n) is defined to be the negation of g(n).

d(n) విలువ g(n) యొక్క వ్యతిరేకంగా నిర్వచించబడింది.


The definition of the function d is a bit subtle.

d ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం కొంచెం సూక్ష్మమైనది.


The Braille system encodes letters and symbols as binary strings.

బ్రెయిలీ వ్యవస్థ అక్షరాలు మరియు చిహ్నాలను బైనరీ స్ట్రింగ్‌లుగా ఎన్‌కోడ్ చేస్తుంది.


We can represent a letter or symbol by a string.

ఒక అక్షరం లేదా చిహ్నాన్ని స్ట్రింగ్‌తో సూచించవచ్చు.


Unicode is the representation of about 128,000 symbols as numbers.

యూనికోడ్ దాదాపు 128,000 చిహ్నాలను సంఖ్యలుగా సూచిస్తుంది.


The ASCII representation is fixed-length, it is automatically prefix-free.

ASCII ప్రాతినిధ్యం స్థిర-పొడవుతో ఉంటుంది, ఇది స్వయంచాలకంగా పూర్వపద-రహితంగా ఉంటుంది.


We can represent lists of lists, and thus, in particular, can represent matrices.

మేము జాబితాల జాబితాలను సూచించవచ్చు మరియు అందువల్ల, ప్రత్యేకించి, మాత్రికలను సూచించవచ్చు.


A video can be represented as a list of images.

వీడియోను చిత్రాల జాబితాగా సూచించవచ్చు.


We will typically identify an object with its representation as a string.

మేము సాధారణంగా ఒక వస్తువును దాని ప్రాతినిధ్యంతో ఒక స్ట్రింగ్‌గా గుర్తిస్తాము.


A computational process takes an input and produces an output.

ఒక గణన ప్రక్రియ ఒక ఇన్‌పుట్‌ను తీసుకుంటుంది మరియు ఒక అవుట్‌పుట్‌ను ఉత్పత్తి చేస్తుంది.


We focus on the specification and not the implementation.

మేము అమలుపై కాకుండా నిర్దిష్టతపై దృష్టి పెడతాము.


Given two integers, compute their product.

రెండు పూర్ణాంకాలను ఇచ్చినప్పుడు, వాటి ఉత్పత్తిని గణించండి.


Given an image, decide if it is a photo of a cat or a dog.

ఒక చిత్రాన్ని ఇచ్చినప్పుడు, అది పిల్లి లేదా కుక్క యొక్క ఫోటోనా అని నిర్ణయించండి.


Functions with a single bit of output are called Boolean functions.

ఒకే బిట్ అవుట్‌పుట్‌తో ఉన్న ఫంక్షన్‌లను బూలియన్ ఫంక్షన్‌లు అంటారు.


A program computes a function, but it is not the same as a function.

ఒక ప్రోగ్రామ్ ఒక ఫంక్షన్‌ను లెక్కిస్తుంది, కానీ అది ఫంక్షన్ కాదు.


Distinguishing functions from programs is a crucial theme.

ప్రోగ్రామ్‌ల నుండి ఫంక్షన్‌లను వేరు చేయడం ఒక ముఖ్యమైన అంశం.


Both mult1 and mult2 produce the same output.

mult1 మరియు mult2 రెండూ ఒకే అవుట్‌పుట్‌ను ఉత్పత్తి చేస్తాయి.


We can represent vectors as lists of numbers.

మేము వెక్టర్లను సంఖ్యల జాబితాలుగా సూచించవచ్చు.


The Braille system was invented in 1821 by Louis Braille.

బ్రెయిలీ వ్యవస్థను 1821లో లూయిస్ బ్రెయిలీ కనుగొన్నారు.


We can represent the color at each pixel by a list of three numbers.

మేము ప్రతి పిక్సెల్ వద్ద రంగును మూడు సంఖ్యల జాబితా ద్వారా సూచించవచ్చు.


A graph on n vertices can be represented as an adjacency matrix.

n శీర్షాల గ్రాఫ్‌ను అడ్డంకి మాతృకగా సూచించవచ్చు.


We can use prefix-free encoding to represent lists of elements.

మూలకాల జాబితాలను సూచించడానికి మేము పూర్వపద-రహిత ఎన్‌కోడింగ్‌ను ఉపయోగించవచ్చు.


ఈ రోజు సూర్యుడు ప్రకాశవంతంగా ప్రకాశిస్తున్నాడు.


దయచేసి నాకు ఉప్పు ఇవ్వగలరా?


I am going to the market to buy some vegetables.

నేను కూరగాయలు కొనడానికి మార్కెట్‌కి వెళ్తున్నాను.


The weather forecast predicts rain for tomorrow.

రేపు వర్షం కురుస్తుందని వాతావరణ సూచన చెబుతోంది.


ఆమె చాలా ప్రతిభావంతులైన సంగీత విద్వాంసురాలు.


The company announced its quarterly earnings report.

కంపెనీ తన త్రైమాసిక ఆదాయ నివేదికను ప్రకటించింది.


The new technology has the potential to revolutionize the industry.

కొత్త సాంకేతికత పరిశ్రమలో విప్లవాత్మక మార్పులు తీసుకువచ్చే సామర్థ్యాన్ని కలిగి ఉంది.


Despite the challenges, they persevered and achieved their goals.

సవాళ్లు ఎదురైనా, వారు పట్టుదలతో తమ లక్ష్యాలను సాధించారు.


The research team is conducting experiments in the laboratory.

పరిశోధనా బృందం ప్రయోగశాలలో ప్రయోగాలు నిర్వహిస్తోంది.


The government is implementing new policies to boost the economy.

ఆర్థిక వ్యవస్థను ప్రోత్సహించడానికి ప్రభుత్వం కొత్త విధానాలను అమలు చేస్తోంది.


The intricate details of the artwork were fascinating.

కళాఖండం యొక్క క్లిష్టమైన వివరాలు ఆకర్షణీయంగా ఉన్నాయి.


The algorithm efficiently sorts the data.

అల్గారిథం సమర్థవంతంగా డేటాను క్రమబద్ధీకరిస్తుంది.


The company's stock price fluctuated throughout the day.

సంస్థ యొక్క స్టాక్ ధర రోజంతా హెచ్చుతగ్గులకు లోనైంది.


The philosophical debate explored the nature of consciousness.

తత్వ చర్చ స్పృహ స్వభావాన్ని పరిశోధించింది.


The scientific study revealed a significant correlation.

శాస్త్రీయ అధ్యయనం ఒక ముఖ్యమైన సంబంధాన్ని వెల్లడించింది.


The complex equation required advanced mathematical techniques.

సంక్లిష్ట సమీకరణానికి అధునాతన గణిత పద్ధతులు అవసరం.


The historical context is crucial for understanding the event.

ఘటనను అర్థం చేసుకోవడానికి చారిత్రక సందర్భం చాలా ముఖ్యం.


The project's success depended on effective collaboration.

ప్రాజెక్ట్ విజయం సమర్థవంతమైన సహకారంపై ఆధారపడి ఉంది.


The economic downturn affected many businesses.

ఆర్థిక మాంద్యం చాలా వ్యాపారాలను ప్రభావితం చేసింది.


The artist's unique style is easily recognizable.

కళాకారుడి ప్రత్యేక శైలి సులభంగా గుర్తించదగినది.


సర్క్యూట్ NAND ఫంక్షన్‌ను లెక్కిస్తుంది.


We can use NAND gates to build other logic gates.

మనం ఇతర లాజిక్ గేట్‌లను నిర్మించడానికి NAND గేట్‌లను ఉపయోగించవచ్చు.


The book explains the basics of computer science.

పుస్తకం కంప్యూటర్ సైన్స్ యొక్క ప్రాథమిక విషయాలను వివరిస్తుంది.


This is a fundamental concept in theoretical computer science.

ఇది సిద్ధాంతపరమైన కంప్యూటర్ సైన్స్‌లో ఒక ప్రాథమిక భావన.


The program uses procedures to simplify the code.

కోడ్‌ను సరళీకృతం చేయడానికి ప్రోగ్రామ్ విధానాలను ఉపయోగిస్తుంది.


Understanding the difference between specification and implementation is crucial.

స్పెసిఫికేషన్ మరియు అమలు మధ్య వ్యత్యాసాన్ని అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం.


The exercises cover various examples of universal and non-universal gate sets.

అభ్యాసాలు సార్వత్రిక మరియు సార్వత్రికేతర గేట్ సెట్‌ల యొక్క వివిధ ఉదాహరణలను కలిగి ఉంటాయి.


NAND గేట్ ఒక సార్వత్రిక గేట్.


Boolean circuits are a fundamental model of computation.

బూలియన్ సర్క్యూట్‌లు గణన యొక్క ప్రాథమిక నమూనా.


The concept of syntactic sugar simplifies programming.

సింటాక్టిక్ షుగర్ భావన ప్రోగ్రామింగ్‌ను సరళీకృతం చేస్తుంది.


The theorem proves that every finite function can be computed by a Boolean circuit.

ప్రతి పరిమిత ఫంక్షన్‌ను బూలియన్ సర్క్యూట్ ద్వారా లెక్కించవచ్చని సిద్ధాంతం నిరూపిస్తుంది.


The book provides a detailed explanation of the topic.

పుస్తకం ఈ అంశంపై వివరణాత్మక వివరణను అందిస్తుంది.


The algorithm is a recipe for performing a computation.

అల్గారిథం అనేది గణనను నిర్వహించడానికి ఒక రెసిపీ.


The distinction between specification and implementation is important.

స్పెసిఫికేషన్ మరియు అమలు మధ్య వ్యత్యాసం ముఖ్యం.


The program computes the majority function.

ప్రోగ్రామ్ మెజారిటీ ఫంక్షన్‌ను లెక్కిస్తుంది.


We can define procedures to make the code more readable.

కోడ్‌ను మరింత చదవగలిగేలా చేయడానికి మేము విధానాలను నిర్వచించవచ్చు.


The concept of universality is central to this chapter.

సార్వత్రికత యొక్క భావన ఈ అధ్యాయానికి కేంద్రంగా ఉంది.


The exercises challenge the reader to think critically.

అభ్యాసాలు పాఠకుడిని విమర్శనాత్మకంగా ఆలోచించమని సవాలు చేస్తాయి.


The NAND-CIRC programming language is a simple model of computation.

NAND-CIRC ప్రోగ్రామింగ్ భాష గణన యొక్క ఒక సాధారణ నమూనా.


This chapter explores the power of Boolean circuits.

ఈ అధ్యాయం బూలియన్ సర్క్యూట్‌ల శక్తిని అన్వేషిస్తుంది.


We will see that we can make the definition of an algorithm fully formal.

అల్గారిథం యొక్క నిర్వచనాన్ని మనం పూర్తిగా అధికారికంగా చేయగలమని మనం చూస్తాము.


While the choice of AND/OR/NOT is arbitrary, we will also see this choice does not matter much.

AND/OR/NOT ఎంపిక యాదృచ్ఛికమైనది అయినప్పటికీ, ఈ ఎంపిక పెద్దగా పట్టించుకోనని కూడా మనం చూస్తాము.


We will see that we would obtain the same computational power if we instead used addition and multiplication.

మనం కూడిక మరియు గుణకారం ఉపయోగించినట్లయితే, అదే గణన శక్తిని పొందుతామని మనం చూస్తాము.


It turns out that we can and do compute such “AND/OR/NOT- based algorithms” in the real world.

వాస్తవ ప్రపంచంలో మనం అలాంటి “AND/OR/NOT- ఆధారిత అల్గారిథమ్‌లను” లెక్కించగలమని మరియు చేస్తామని తేలింది.


First of all, such an algorithm is clearly well specified, and so can be executed by a human with a pen and paper.

అన్నింటిలో మొదటిది, అలాంటి అల్గారిథం స్పష్టంగా బాగా పేర్కొనబడింది, కాబట్టి ఒక మనిషి పెన్ను మరియు కాగితంతో అమలు చేయవచ్చు.


Second, there are a variety of ways to mechanize this computation.

రెండవది, ఈ గణనను యాంత్రికీకరించడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి.


We’ve already seen that we can write Python code that corresponds to following such a list of instructions.

అటువంటి సూచనల జాబితాను అనుసరించే విధంగా మనం పైథాన్ కోడ్‌ను వ్రాయగలమని ఇప్పటికే చూశాము.


But in fact we can directly implement operations such as AND, OR, and NOT defining computation.

కానీ వాస్తవానికి మనం AND, OR మరియు NOT వంటి కార్యకలాపాలను నేరుగా అమలు చేయవచ్చు.


This is how modern electronic computers operate.

ఆధునిక ఎలక్ట్రానిక్ కంప్యూటర్లు ఇలాగే పనిచేస్తాయి.


In the remainder of this chapter, and the rest of this book, we will begin to answer some of these questions.

ఈ అధ్యాయం మిగిలిన భాగంలో, మరియు ఈ పుస్తకం అంతటా, మనం ఈ ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇవ్వడం ప్రారంభిస్తాము.


We will see more examples of the power of simple operations to compute more complex operations including addition, multiplication, sorting and more.

కూడిక, గుణకారం, క్రమబద్ధీకరణ మరియు మరిన్నింటితో సహా మరింత సంక్లిష్టమైన కార్యకలాపాలను లెక్కించడానికి సాధారణ కార్యకలాపాల శక్తికి సంబంధించిన మరిన్ని ఉదాహరణలను మనం చూస్తాము.


Boolean circuits provide a precise notion of “composing basic operations together”.

బూలియన్ సర్క్యూట్‌లు “ప్రాథమిక కార్యకలాపాలను కలిపి” ఒక ఖచ్చితమైన భావనను అందిస్తాయి.


A Boolean circuit is composed of gates and inputs that are connected by wires.

బూలియన్ సర్క్యూట్ గేట్‌లు మరియు తీగలతో అనుసంధానించబడిన ఇన్‌పుట్‌లతో కూడి ఉంటుంది.


The wires carry a signal that represents either the value 0 or 1.

తీగలు 0 లేదా 1 విలువను సూచించే సిగ్నల్‌ను తీసుకువెళతాయి.


Each gate corresponds to either the OR, AND, or NOT operation.

ప్రతి గేట్ OR, AND లేదా NOT ఆపరేషన్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది.


An OR gate has two incoming wires, and one or more outgoing wires.

ఒక OR గేట్‌కు రెండు ఇన్‌కమింగ్ వైర్లు మరియు ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అవుట్‌గోయింగ్ వైర్లు ఉంటాయి.


We evaluate an n-input Boolean circuit on an input x by placing the bits of x on the inputs.

ఇన్‌పుట్‌లపై x బిట్‌లను ఉంచడం ద్వారా ఇన్‌పుట్ xపై n-ఇన్‌పుట్ బూలియన్ సర్క్యూట్‌ను మనం అంచనా వేస్తాము.


Boolean circuits are a mathematical model that does not necessarily correspond to a physical object, but they can be implemented physically.

బూలియన్ సర్క్యూట్‌లు ఒక గణిత నమూనా, ఇది తప్పనిసరిగా భౌతిక వస్తువుకు అనుగుణంగా ఉండకపోవచ్చు, కానీ వాటిని భౌతికంగా అమలు చేయవచ్చు.


Define ALLEQ to be the function that on input x outputs 1 if and only if x0 = x1 = x2 = x3.

ఇన్‌పుట్ xపై x0 = x1 = x2 = x3 అయితే మాత్రమే 1ని అవుట్‌పుట్ చేసే ఫంక్షన్‌గా ALLEQని నిర్వచించండి.


We defined Boolean circuits informally as obtained by connecting AND, OR, and NOT gates via wires so as to produce an output from an input.

ఇన్‌పుట్ నుండి అవుట్‌పుట్‌ను ఉత్పత్తి చేయడానికి AND, OR మరియు NOT గేట్‌లను తీగల ద్వారా కనెక్ట్ చేయడం ద్వారా బూలియన్ సర్క్యూట్‌లను అనధికారికంగా నిర్వచించాము.


Early vacuum tubes were roughly the size of lightbulbs.

ప్రారంభిక వాక్యూమ్ ట్యూబ్‌లు దాదాపు బల్బుల పరిమాణంలో ఉండేవి.


In the 1950’s they were supplanted by transistors.

1950లలో వాటి స్థానంలో ట్రాన్సిస్టర్‌లు వచ్చాయి.


Computers started to be implemented using integrated circuits.

కంప్యూటర్లను ఇంటిగ్రేటెడ్ సర్క్యూట్‌లను ఉపయోగించి అమలు చేయడం ప్రారంభించారు.


In 1965, Gordon Moore predicted that the number of transistors per integrated circuit would double every year.

1965లో, గోర్డాన్ మూర్ ఇంటిగ్రేటెడ్ సర్క్యూట్ ఒక్కొక్కదానికి ట్రాన్సిస్టర్‌ల సంఖ్య ప్రతి సంవత్సరం రెట్టింపు అవుతుందని అంచనా వేశారు.


ఇది హోమ్ కంప్యూటర్లకు దారి తీస్తుంది.


Exponential growth cannot be sustained forever.

ఘాత పెరుగుదలను ఎల్లప్పుడూ కొనసాగించలేము.


We can use transistors to implement various Boolean functions.

వివిధ బూలియన్ ఫంక్షన్లను అమలు చేయడానికి మనం ట్రాన్సిస్టర్‌లను ఉపయోగించవచ్చు.


This means that if there exists a AND/OR/NOT circuit to compute a function.

అంటే ఒక ఫంక్షన్‌ను లెక్కించడానికి AND/OR/NOT సర్క్యూట్ ఉంటే.


Computation can be based on biological or chemical systems.

గణన జీవ లేదా రసాయన వ్యవస్థలపై ఆధారపడి ఉంటుంది.


Researchers have managed to create transistors, and from them logic gates, based on DNA molecules.

పరిశోధకులు ట్రాన్సిస్టర్‌లను మరియు వాటి నుండి DNA అణువులపై ఆధారపడిన లాజిక్ గేట్‌లను రూపొందించగలిగారు.


One motivation for DNA computing is to achieve increased parallelism or storage density.

DNA కంప్యూటింగ్ యొక్క ఒక ప్రేరణ ఏమిటంటే సమాంతరత లేదా నిల్వ సాంద్రతను పెంచడం.


Brains have served humanity throughout history.

మెదడు చరిత్ర అంతటా మానవాళికి ఉపయోగపడింది.


A neural network can be thought of as a Boolean circuit.

ఒక న్యూరల్ నెట్‌వర్క్‌ను బూలియన్ సర్క్యూట్‌గా భావించవచ్చు.


Threshold gates can be thought of as an approximation for neuron cells.

థ్రెషోల్డ్ గేట్‌లను న్యూరాన్ కణాలకు ఒక అంచనాగా భావించవచ్చు.


Many machine learning algorithms use artificial neural networks.

అనేక యంత్ర అభ్యాస అల్గారిథమ్‌లు కృత్రిమ న్యూరల్ నెట్‌వర్క్‌లను ఉపయోగిస్తాయి.


We can implement computation using many other physical media.

మనం అనేక ఇతర భౌతిక మాధ్యమాలను ఉపయోగించి గణనను అమలు చేయవచ్చు.


A NAND gate corresponds to a mechanical object.

ఒక NAND గేట్ ఒక యాంత్రిక వస్తువుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.


The NAND function is another simple function that is extremely useful.

NAND ఫంక్షన్ అనేది చాలా ఉపయోగకరమైన మరొక సాధారణ ఫంక్షన్.


We can compute AND, OR, and NOT by composing only the NAND function.

మనం NAND ఫంక్షన్‌ను మాత్రమే ఉపయోగించి AND, OR మరియు NOTలను లెక్కించవచ్చు.


For every Boolean circuit 퐶 of 푠 gates, there exists a NAND circuit 퐶 ′ of at most 3푠 gates that computes the same function as 퐶.

ప్రతి బూలియన్ సర్క్యూట్ 퐶 యొక్క 푠 గేట్‌లకు, అదే ఫంక్షన్‌ను లెక్కిస్తున్న గరిష్టంగా 3푠 గేట్‌ల NAND సర్క్యూట్ 퐶 ′ ఉంది.


The company announced a new product launch next month.

కంపెనీ వచ్చే నెలలో కొత్త ఉత్పత్తిని విడుదల చేయనున్నట్లు ప్రకటించింది.


Could you please provide me with the document?

దయచేసి మీరు నాకు పత్రం అందించగలరా?


The weather forecast predicts rain for tomorrow.

రేపు వర్షం కురుస్తుందని వాతావరణ సూచన చెబుతోంది.


He is a very talented musician and composer.

అతను చాలా ప్రతిభావంతుడైన సంగీత విద్వాంసుడు మరియు స్వరకర్త.


The government is implementing new policies to boost the economy.

ఆర్థిక వ్యవస్థను ప్రోత్సహించడానికి ప్రభుత్వం కొత్త విధానాలను అమలు చేస్తోంది.


Despite the challenges, they managed to complete the project on time.

సవాళ్లు ఎదురైనా, వారు సమయానికి ప్రాజెక్ట్‌ను పూర్తి చేయగలిగారు.


The algorithm efficiently sorts the data.

అల్గారిథం డేటాను సమర్ధవంతంగా క్రమబద్ధీకరిస్తుంది.


The research paper explores the impact of climate change on agriculture.

పరిశోధనా పత్రం వ్యవసాయంపై వాతావరణ మార్పుల ప్రభావాన్ని వివరిస్తుంది.


The committee will review the proposal next week.

కమిటీ వచ్చే వారం ప్రతిపాదనను సమీక్షిస్తుంది.


She is fluent in several foreign languages.

ఆమె అనేక విదేశీ భాషలలో అనర్గళంగా మాట్లాడుతుంది.


The economic indicators suggest a period of growth.

ఆర్థిక సూచికలు వృద్ధి కాలాన్ని సూచిస్తున్నాయి.


The complex system requires careful analysis.

సంక్లిష్టమైన వ్యవస్థకు జాగ్రత్తగా విశ్లేషణ అవసరం.


The implications of the new technology are far-reaching.

కొత్త సాంకేతిక పరిజ్ఞానం యొక్క పరిణామాలు చాలా దూరం వరకు ఉన్నాయి.


The philosophical debate centered on the nature of reality.

తత్వశాస్త్ర చర్చ వాస్తవికత స్వభావంపై కేంద్రీకరించబడింది.


The company's strategic plan involves significant restructuring.

కంపెనీ వ్యూహాత్మక ప్రణాళికలో గణనీయమైన పునర్నిర్మాణం ఉంది.


The court's decision had a profound impact on the community.

కోర్టు నిర్ణయం సమాజంపై తీవ్ర ప్రభావాన్ని చూపింది.


The intricate details of the experiment were meticulously documented.

ప్రయోగం యొక్క క్లిష్టమైన వివరాలు సూక్ష్మంగా నమోదు చేయబడ్డాయి.


The artist's innovative techniques revolutionized the art world.

కళాకారుడి వినూత్న పద్ధతులు కళా ప్రపంచంలో విప్లవం తెచ్చాయి.


The government's response to the crisis was widely criticized.

సంక్షోభానికి ప్రభుత్వం స్పందించిన తీరుపై విస్తృతంగా విమర్శలు వచ్చాయి.


The theoretical framework provides a basis for understanding the phenomenon.

సిద్ధాంతపరమైన ఫ్రేమ్‌వర్క్ ఈ దృగ్విషయాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి ఒక ఆధారాన్ని అందిస్తుంది.


ఈ రోజు వాతావరణం ఆహ్లాదకరంగా ఉంది.


దయచేసి నాకు ఉప్పు ఇవ్వగలరా?


I am going to the market to buy some vegetables.

నేను కూరగాయలు కొనడానికి మార్కెట్‌కు వెళ్తున్నాను.


The company announced a new product launch.

కంపెనీ కొత్త ఉత్పత్తిని ప్రారంభించినట్లు ప్రకటించింది.


అతను చాలా ప్రతిభావంతుడైన సంగీత విద్వాంసుడు.


సమావేశం వచ్చే వారం జరుగుతుంది.


Please submit your application before the deadline.

గడువులోగా మీ దరఖాస్తును సమర్పించండి.


The algorithm efficiently sorts the data.

అల్గారిథం డేటాను సమర్థవంతంగా క్రమబద్ధీకరిస్తుంది.


ఆమె పరీక్షల కోసం చదువుతోంది.


The government is implementing new policies.

ప్రభుత్వం కొత్త విధానాలను అమలు చేస్తోంది.


The research paper presents novel findings.

పరిశోధనా పత్రం కొత్త విషయాలను అందిస్తుంది.


The economic situation is improving gradually.

ఆర్థిక పరిస్థితి క్రమంగా మెరుగుపడుతోంది.


The software requires a high-performance processor.

సాఫ్ట్‌వేర్‌కు అధిక పనితీరు గల ప్రాసెసర్ అవసరం.


కళాకారుడి పనికి చాలా ప్రశంసలు వచ్చాయి.


ప్రాజెక్ట్ కొన్ని సవాళ్లను ఎదుర్కొంటోంది.


The data analysis revealed significant trends.

డేటా విశ్లేషణ ముఖ్యమైన పోకడలను వెల్లడించింది.


The company is expanding its operations globally.

కంపెనీ తన కార్యకలాపాలను ప్రపంచవ్యాప్తంగా విస్తరిస్తోంది.


The book provides a comprehensive overview of the subject.

పుస్తకం సబ్జెక్ట్ గురించి సమగ్ర అవలోకనాన్ని అందిస్తుంది.


The meeting was adjourned due to lack of quorum.

కోరం లేకపోవడం వల్ల సమావేశం వాయిదా పడింది.


The complex algorithm optimizes resource allocation.

సంక్లిష్టమైన అల్గారిథం వనరుల కేటాయింపును ఆప్టిమైజ్ చేస్తుంది.


The potential of quantum computing is fascinating, even if it's not yet a reality.

క్వాంటం కంప్యూటింగ్ యొక్క సామర్థ్యం ఆసక్తికరంగా ఉంది, ఇది ఇంకా వాస్తవం కాకపోయినా.


Cryptography is crucial for protecting sensitive information.

సున్నితమైన సమాచారాన్ని రక్షించడానికి క్రిప్టోగ్రఫీ చాలా ముఖ్యం.


We will discuss quantum computing in detail later.

క్వాంటం కంప్యూటింగ్ గురించి తరువాత వివరంగా చర్చిస్తాము.


The Physical Extended Church-Turing Thesis is a key concept.

భౌతిక విస్తరించిన చర్చ్-ట్యూరింగ్ సిద్ధాంతం ఒక ముఖ్యమైన భావన.


Boolean circuits are a fundamental model in computer science.

బూలియన్ సర్క్యూట్లు కంప్యూటర్ సైన్స్ లో ఒక ప్రాథమిక నమూనా.


Governments rely on cryptography to protect state secrets.

రాష్ట్ర రహస్యాలను కాపాడటానికి ప్రభుత్వాలు క్రిప్టోగ్రఫీపై ఆధారపడతాయి.


We can model a computational process using Boolean circuits.

బూలియన్ సర్క్యూట్‌లను ఉపయోగించి మనం గణన ప్రక్రియను నమూనా చేయవచ్చు.


The efficiency loss in evaluating programs is not too large.

ప్రోగ్రామ్‌లను మూల్యాంకనం చేయడంలో సామర్థ్యం కోల్పోవడం చాలా ఎక్కువ కాదు.


Quantum computers could speed up computation.

క్వాంటం కంప్యూటర్లు గణనను వేగవంతం చేయగలవు.


Every function can be computed by many programs.

ప్రతి ఫంక్షన్‌ను అనేక ప్రోగ్రామ్‌ల ద్వారా లెక్కించవచ్చు.


మనం ప్రోగ్రామ్‌లను డేటాగా భావించవచ్చు.


The main challenge to the PECTT is quantum computing.

PECTTకి ప్రధాన సవాలు క్వాంటం కంప్యూటింగ్.


This chapter deals with finite computation.

ఈ అధ్యాయం పరిమిత గణనతో వ్యవహరిస్తుంది.


We define SIZE(s) as the set of functions.

మనం SIZE(s)ని ఫంక్షన్ల సమితిగా నిర్వచిస్తాము.


The concept of a universal circuit is important.

సార్వత్రిక సర్క్యూట్ యొక్క భావన ముఖ్యం.


మనం ఒక సర్క్యూట్‌ను స్ట్రింగ్‌గా వర్ణించవచ్చు.


The Physical Extended Church-Turing Thesis postulates a relationship between computation and physical resources.

భౌతిక విస్తరించిన చర్చ్-ట్యూరింగ్ సిద్ధాంతం గణన మరియు భౌతిక వనరుల మధ్య సంబంధాన్ని ప్రతిపాదిస్తుంది.


The model of Boolean circuits has a significant drawback.

బూలియన్ సర్క్యూట్ల నమూనాకు ఒక ముఖ్యమైన లోపం ఉంది.


We extend our definition to consider functions with unbounded domains.

అపరిమిత డొమైన్‌లతో ఫంక్షన్లను పరిగణనలోకి తీసుకోవడానికి మేము మా నిర్వచనాన్ని విస్తరిస్తాము.


Finite automata are a simple model of computation.

పరిమిత ఆటోమేటా అనేది గణన యొక్క ఒక సాధారణ నమూనా.


ఈ కోడ్ NAND-CIRC ప్రోగ్రామ్‌ను అంచనా వేస్తుంది.


The function GET retrieves a value from Vartable.

GET ఫంక్షన్ Vartable నుండి ఒక విలువను తిరిగి పొందుతుంది.


The UPDATE function modifies the Vartable.

UPDATE ఫంక్షన్ Vartable ని మారుస్తుంది.


The program uses a list of tuples representation.

ప్రోగ్రామ్ ట్యూపుల్స్ ప్రాతినిధ్యం యొక్క జాబితాను ఉపయోగిస్తుంది.


The output is a list of values from Vartable.

అవుట్‌పుట్ Vartable నుండి విలువలను కలిగి ఉన్న జాబితా.


LOOKUP ℓ ని O(2 ℓ) సమయంలో లెక్కించవచ్చు.


The total number of lines to compute UPDATE is O(2 ℓ ⋅ ℓ).

UPDATE ని లెక్కించడానికి మొత్తం లైన్ల సంఖ్య O(2 ℓ ⋅ ℓ).


The total number of lines for computing EVAL is O(s² log s).

EVAL ని లెక్కించడానికి మొత్తం లైన్ల సంఖ్య O(s² log s).


NAND does not offer arrays with efficient random access.

NAND సమర్థవంతమైన యాదృచ్ఛిక ప్రాప్యతతో శ్రేణులను అందించదు.


It is possible to improve the bound of Theorem 5.10.

Theorem 5.10 యొక్క బౌండ్‌ను మెరుగుపరచడం సాధ్యమవుతుంది.


The key is to consider the description of NAND-CIRC programs as circuits.

NAND-CIRC ప్రోగ్రామ్‌ల వివరణను సర్క్యూట్‌లుగా పరిగణించడం ముఖ్యం.


A universal NAND-CIRC program will correspond to a universal graph.

ఒక సార్వత్రిక NAND-CIRC ప్రోగ్రామ్ సార్వత్రిక గ్రాఫ్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది.


We can think of such a graph as fixed wiring for a communication network.

అటువంటి గ్రాఫ్‌ను కమ్యూనికేషన్ నెట్‌వర్క్ కోసం స్థిర వైరింగ్‌గా మనం భావించవచ్చు.


It is possible to translate every Python program into an equivalent NAND-CIRC program.

ప్రతి పైథాన్ ప్రోగ్రామ్‌ను సమానమైన NAND-CIRC ప్రోగ్రామ్‌గా అనువదించడం సాధ్యమవుతుంది.


The NAND-CIRC programming language is just a teaching tool.

NAND-CIRC ప్రోగ్రామింగ్ భాష కేవలం ఒక బోధనా సాధనం మాత్రమే.


Understanding how programs are transformed into low-level representation is fundamental.

ప్రోగ్రామ్‌లు ఎలా లో-స్థాయి ప్రాతినిధ్యంగా మార్చబడతాయో అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం.


We are seeing the notion of universality or self-reference of computation.

మనం యూనివర్సాలిటీ లేదా కంప్యూటేషన్ యొక్క స్వీయ-సూచన భావనను చూస్తున్నాము.


The Physical Extended Church-Turing Thesis is a hypothesis.

భౌతిక విస్తరించిన చర్చ్-ట్యూరింగ్ సిద్ధాంతం ఒక పరికల్పన.


If a function can be computed in the physical world using physical resources, then it can be computed by a Boolean circuit.

ఒక ఫంక్షన్ భౌతిక ప్రపంచంలో భౌతిక వనరులను ఉపయోగించి లెక్కించగలిగితే, అది బూలియన్ సర్క్యూట్ ద్వారా లెక్కించబడుతుంది.


There is no single universally-agreed-upon formalization of “roughly physical resources”.

“సుమారుగా భౌతిక వనరులు” యొక్క ఏకైక సార్వత్రికంగా అంగీకరించబడిన అధికారికత లేదు.


The function f ′ (x) means that the programs that compute f and f ′ respectively cannot be identical.

ప్రమేయం f ′ (x) అంటే f మరియు f ′ లను గణించే ప్రోగ్రామ్‌లు ఒకేలా ఉండలేవు.


The number of functions that can be computed using small circuits/programs is much smaller than the total number of functions.

చిన్న సర్క్యూట్‌లు/ప్రోగ్రామ్‌లను ఉపయోగించి లెక్కించగల ఫంక్షన్ల సంఖ్య మొత్తం ఫంక్షన్ల కంటే చాలా తక్కువగా ఉంటుంది.


A function mapping {0,1} 2 to {0,1} can be identified with the list of its four values.

{0,1} 2 నుండి {0,1}కి మ్యాపింగ్ చేసే ఫంక్షన్‌ను దాని నాలుగు విలువల జాబితాతో గుర్తించవచ్చు.


Every function F : {0,1} n → {0,1} can be identified with the list of its 2 n values.

ప్రతి ఫంక్షన్ F : {0,1} n → {0,1} ని దాని 2 n విలువల జాబితాతో గుర్తించవచ్చు.


The number of functions mapping {0,1} n to {0,1} is equal to the number of possible 2 n length lists of values which is exactly 2 2n.

{0,1} n నుండి {0,1}కి మ్యాపింగ్ చేసే ఫంక్షన్ల సంఖ్య సాధ్యమయ్యే 2 n పొడవు జాబితాల సంఖ్యకు సమానం, ఇది సరిగ్గా 2 2n.


The number of functions from {0,1} n to {0,1} is truly astronomical.

{0,1} n నుండి {0,1}కి ఉన్న ఫంక్షన్ల సంఖ్య నిజంగా ఖగోళం.


There is a constant δ > 0, such that for every sufficiently large n, there is a function f : {0,1} n → {0,1} such that f ∉ SIZE n ( δ2 n /n ).

ఒక స్థిరమైన δ > 0 ఉంది, ప్రతి తగినంత పెద్ద n కోసం, f : {0,1} n → {0,1} అనే ఫంక్షన్ ఉంది, f ∉ SIZE n ( δ2 n /n ).


The shortest NAND-CIRC program to compute f requires more than δ ⋅ 2 n /n lines.

fని లెక్కించడానికి అతి చిన్న NAND-CIRC ప్రోగ్రామ్ δ ⋅ 2 n /n కంటే ఎక్కువ లైన్‌లను కలిగి ఉండాలి.


ప్రూఫ్ చాలా సులభం.


We have seen before that every function mapping {0,1} n to {0,1} can be computed by an O(2 n /n) line program.

{0,1} n నుండి {0,1}కి మ్యాపింగ్ చేసే ప్రతి ఫంక్షన్‌ను O(2 n /n) లైన్ ప్రోగ్రామ్ ద్వారా లెక్కించవచ్చని మనం ఇంతకు ముందే చూశాము.


Some functions f : {0,1} n → {0,1} cannot be computed by a Boolean circuit using fewer than exponential (in n) number of gates.

కొన్ని ఫంక్షన్లు f : {0,1} n → {0,1} ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ (nలో) గేట్‌ల కంటే తక్కువ ఉపయోగించి బూలియన్ సర్క్యూట్ ద్వారా లెక్కించబడవు.


Functions that can be computed in a small number of lines are the exception, rather than the rule.

కొద్ది సంఖ్యలో లైన్‌లలో లెక్కించగల ఫంక్షన్లు నియమానికి మినహాయింపు.


The ASCII representation is not the shortest representation for NAND-CIRC programs.

ASCII ప్రాతినిధ్యం NAND-CIRC ప్రోగ్రామ్‌లకు అతి చిన్న ప్రాతినిధ్యం కాదు.


A NAND-CIRC program of s lines, n inputs, and m outputs can be represented by a labeled directed graph of s + n vertices.

s లైన్‌లు, n ఇన్‌పుట్‌లు మరియు m అవుట్‌పుట్‌లు కలిగిన NAND-CIRC ప్రోగ్రామ్‌ను s + n శీర్షాల లేబుల్ చేయబడిన దర్శకత్వం వహించిన గ్రాఫ్‌తో సూచించవచ్చు.


We prove Theorem 5.5 by coming up with a list f 0 ,...,f 2n of functions.

ఫంక్షన్ల జాబితాను f 0 ,...,f 2n తయారు చేయడం ద్వారా మేము సిద్ధాంతం 5.5ని నిరూపిస్తాము.


By Theorem 4.15 the class SIZE n (10 ⋅ 2 n /n) contains all functions from {0,1} n to {0,1}.

సిద్ధాంతం 4.15 ప్రకారం SIZE n (10 ⋅ 2 n /n) తరగతి {0,1} n నుండి {0,1} వరకు ఉన్న అన్ని ఫంక్షన్లను కలిగి ఉంటుంది.


For every sufficiently large n, SIZE n (0.1 2 n /n) ⊊ SIZE n (10 2 n /n).

ప్రతి తగినంత పెద్ద n కోసం, SIZE n (0.1 2 n /n) ⊊ SIZE n (10 2 n /n).


For every sufficiently large n and 10n < s < 0.1⋅2 n /n, SIZE n (s) ⊊ SIZE n (s+10n).

ప్రతి తగినంత పెద్ద n మరియు 10n < s < 0.1⋅2 n /n కోసం, SIZE n (s) ⊊ SIZE n (s+10n).


We define the functions f 0 , f 1 ,..., f 2n mapping {0,1} n to {0,1} as follows.

మేము ఫంక్షన్లను f 0 , f 1 ,..., f 2nని {0,1} n నుండి {0,1}కి ఈ విధంగా నిర్వచిస్తాము.


The function f 0 is simply the constant zero function, while the function f 2n is equal to f *.

ఫంక్షన్ f 0 కేవలం స్థిరమైన సున్నా ఫంక్షన్, అయితే ఫంక్షన్ f 2n f *కి సమానం.


The algorithm efficiently sorts the data.

అల్గారిథం డేటాను సమర్థవంతంగా క్రమబద్ధీకరిస్తుంది.


She enjoys reading novels in her free time.

ఆమె ఖాళీ సమయంలో నవలలు చదవడానికి ఇష్టపడుతుంది.


The company announced a new product launch.

కంపెనీ కొత్త ఉత్పత్తిని ప్రారంభించినట్లు ప్రకటించింది.


Could you please repeat that information?

దయచేసి ఆ సమాచారాన్ని మళ్ళీ చెప్పగలరా?


The research paper explores complex topics.

పరిశోధనా పత్రం సంక్లిష్టమైన అంశాలను అన్వేషిస్తుంది.


The weather forecast predicts heavy rain tomorrow.

రేపు భారీ వర్షాలు కురుస్తాయని వాతావరణ సూచన చెబుతోంది.


He is a highly skilled software engineer.

అతను అత్యంత నైపుణ్యం కలిగిన సాఫ్ట్‌వేర్ ఇంజనీర్.


The government implemented new policies.

ప్రభుత్వం కొత్త విధానాలను అమలు చేసింది.


ఆమె పియానో వాయించడం నేర్చుకుంటోంది.


The project requires careful planning and execution.

ప్రాజెక్ట్ జాగ్రత్తగా ప్లాన్ చేయడం మరియు అమలు చేయడం అవసరం.


The economic situation is improving gradually.

ఆర్థిక పరిస్థితి క్రమంగా మెరుగుపడుతోంది.


He gave a detailed explanation of the concept.

అతను భావన గురించి వివరణాత్మక వివరణ ఇచ్చాడు.


The team achieved significant results in the competition.

పోటీలో జట్టు గణనీయమైన ఫలితాలను సాధించింది.


The study revealed interesting findings about human behavior.

మానవ ప్రవర్తన గురించి అధ్యయనం ఆసక్తికరమైన విషయాలను వెల్లడించింది.


The technology has the potential to revolutionize the industry.

ఈ సాంకేతికత పరిశ్రమలో విప్లవాత్మక మార్పులు తీసుకువచ్చే సామర్థ్యాన్ని కలిగి ఉంది.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

సవాళ్లు ఎదురైనా, వారు పట్టుదలతో విజయం సాధించారు.


The complex system requires specialized expertise.

సంక్లిష్టమైన వ్యవస్థకు ప్రత్యేక నైపుణ్యం అవసరం.


The artist's work reflects a deep understanding of emotions.

కళాకారుడి పని భావోద్వేగాల గురించి లోతైన అవగాహనను ప్రతిబింబిస్తుంది.


The negotiations reached a critical juncture.

చర్చలు కీలక దశకు చేరుకున్నాయి.


The company is committed to sustainable practices.

కంపెనీ స్థిరమైన పద్ధతులకు కట్టుబడి ఉంది.


ఈ రోజు వాతావరణం ఆహ్లాదకరంగా ఉంది.


దయచేసి తలుపు మూయండి.


నేను మార్కెట్‌కి వెళ్తున్నాను.


కంపెనీ కొత్త ఉత్పత్తిని ప్రకటించింది.


అతను చాలా తెలివైన విద్యార్థి.


The research team is working on a new project.

పరిశోధనా బృందం కొత్త ప్రాజెక్ట్‌పై పనిచేస్తోంది.


దయచేసి దీనితో నాకు సహాయం చేయగలరా?


The economy is facing several challenges.

ఆర్థిక వ్యవస్థ అనేక సవాళ్లను ఎదుర్కొంటోంది.


The algorithm efficiently sorts the data.

అల్గారిథం డేటాను సమర్ధవంతంగా క్రమబద్ధీకరిస్తుంది.


Despite the difficulties, they succeeded.

ఇబ్బందులు ఎదురైనా, వారు విజయం సాధించారు.


ప్రభుత్వం కొత్త విధానాలను అమలు చేసింది.


The complex system requires careful analysis.

సంక్లిష్టమైన వ్యవస్థ జాగ్రత్తగా విశ్లేషణ అవసరం.


The impact of climate change is significant.

వాతావరణ మార్పుల ప్రభావం చాలా ఎక్కువ.


రేపు సమావేశం జరుగుతుంది.


ప్రాజెక్ట్ షెడ్యూల్ ప్రకారం లేదు.


The data was collected from various sources.

వివిధ మూలాల నుండి డేటాను సేకరించారు.


The company is expanding its operations globally.

కంపెనీ తన కార్యకలాపాలను ప్రపంచవ్యాప్తంగా విస్తరిస్తోంది.


The results of the experiment were inconclusive.

ప్రయోగం యొక్క ఫలితాలు అస్పష్టంగా ఉన్నాయి.


అతను ఆ రంగంలో పేరుగాంచిన నిపుణుడు.


The implications of the decision are far-reaching.

ఈ నిర్ణయం యొక్క పరిణామాలు చాలా దూరం వరకు ఉంటాయి.


The algorithm checks if 'e' matches the empty string.

'e' శూన్య స్ట్రింగ్‌తో సరిపోలుతుందో లేదో అల్గారిథం తనిఖీ చేస్తుంది.


అల్గారిథం 6.10 చాలా సమర్థవంతమైనది కాదు.


For example, given an expression involving concatenation or the “star” operation and a string of length n, it can make n recursive calls.

ఉదాహరణకు, కన్కాటినేషన్ లేదా “నక్షత్రం” ఆపరేషన్‌ను కలిగి ఉన్న ఒక వ్యక్తీకరణ మరియు n పొడవు గల స్ట్రింగ్‌ను ఇచ్చినట్లయితే, అది n పునరావృత కాల్‌లను చేయగలదు.


Fortunately, it turns out that there is a much more efficient algorithm that can match regular expressions in linear time.

అదృష్టవశాత్తూ, సరళ సమయంలో రెగ్యులర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లను సరిపోల్చగల మరింత సమర్థవంతమైన అల్గారిథం ఉందని తేలింది.


We will see a formal definition of time complexity in Chapter 13.

అధ్యాయం 13 లో సమయ సంక్లిష్టత యొక్క అధికారిక నిర్వచనాన్ని మేము చూస్తాము.


e ఒక సాధారణ వ్యక్తీకరణ అని అనుకుందాం.


Then there is an O(n) time algorithm that computes Φe.

అప్పుడు Φeని గణించే O(n) సమయ అల్గారిథం ఉంది.


This makes sense since in practice we often want to compute Φe(x) for a small regular expression e and a large document x.

ఆచరణలో మనం తరచుగా చిన్న సాధారణ వ్యక్తీకరణ e మరియు పెద్ద డాక్యుమెంట్ x కోసం Φe(x)ని గణించాలనుకుంటున్నాం కాబట్టి ఇది అర్ధవంతంగా ఉంది.


We prove Theorem 6.12 by obtaining more efficient recursive algorithm.

మనం మరింత సమర్థవంతమైన పునరావృత అల్గారిథమ్‌ను పొందడం ద్వారా సిద్ధాంతం 6.12ని నిరూపిస్తాము.


The idea is that for every regular expression e and symbol σ in its alphabet, it is possible to define a regular expression e[σ] such that e[σ] matches a string x if and only if e matches the string xσ.

ప్రతి సాధారణ వ్యక్తీకరణ e మరియు దాని అక్షరమాలలోని గుర్తు σ కోసం, e[σ] అనే సాధారణ వ్యక్తీకరణను నిర్వచించడం సాధ్యమవుతుంది, తద్వారా e[σ] ఒక స్ట్రింగ్ xతో సరిపోలుతుంది, e స్ట్రింగ్ xσతో సరిపోలితే మాత్రమే.


For example, if e is the regular expression (01)*(01) (i.e., one or more occurrences of 01) then e[1] is equal to (01)*0 and e[0] will be ∅.

ఉదాహరణకు, e అనేది సాధారణ వ్యక్తీకరణ అయితే (01)*(01) (అంటే, 01 యొక్క ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంభవాలు) అప్పుడు e[1] (01)*0కి సమానం మరియు e[0] ∅ అవుతుంది.


Algorithm 6.13 computes the restriction e[σ] given a regular expression e and an alphabet symbol σ.

అల్గారిథం 6.13 ఒక సాధారణ వ్యక్తీకరణ e మరియు అక్షరమాల గుర్తు σ ఇచ్చిన పరిమితి e[σ]ని లెక్కిస్తుంది.


It always terminates, since the recursive calls it makes are always on expressions smaller than the input expression.

ఇది ఎల్లప్పుడూ ముగుస్తుంది, ఎందుకంటే ఇది చేసే పునరావృత కాల్‌లు ఎల్లప్పుడూ ఇన్‌పుట్ వ్యక్తీకరణ కంటే చిన్న వ్యక్తీకరణలపై ఉంటాయి.


Using this notion of restriction, we can define the following recursive algorithm for regular expression matching:

ఈ పరిమితి భావనను ఉపయోగించి, రెగ్యులర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్ సరిపోలిక కోసం మేము ఈ క్రింది పునరావృత అల్గారిథమ్‌ను నిర్వచించవచ్చు:


By the definition of a restriction, for every σ ∈ Σ and x' ∈ Σ*, the expression e matches x'σ if and only if e[σ] matches x'.

ఒక పరిమితి యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, ప్రతి σ ∈ Σ మరియు x' ∈ Σ* కోసం, వ్యక్తీకరణ e, x'σతో సరిపోలుతుంది, e[σ] x'తో సరిపోలితే మాత్రమే.


Hence for every e and x ∈ Σn, Φe[xn-1](x0⋯xn-2) = Φe(x) and Algorithm 6.14 does return the correct answer.

అందువల్ల ప్రతి e మరియు x ∈ Σn కోసం, Φe[xn-1](x0⋯xn-2) = Φe(x) మరియు అల్గారిథం 6.14 సరైన సమాధానాన్ని అందిస్తుంది.


The only remaining task is to analyze its running time.

మిగిలిన ఏకైక పని దాని రన్నింగ్ సమయాన్ని విశ్లేషించడం.


For simplicity, let us restrict our attention to the case that the alphabet Σ is equal to {0,1}.

సరళత కోసం, అక్షరమాల Σ {0,1}కి సమానంగా ఉండే కేసుపై మన దృష్టిని పరిమితం చేద్దాం.


Algorithm 6.14 is a recursive algorithm that input an expression e and a string x ∈ {0,1}n, does computation of at most C(|e|) steps and then calls itself with input some expression e' and a string x' of length n - 1.

అల్గారిథం 6.14 అనేది ఒక పునరావృత అల్గారిథం, ఇది ఒక వ్యక్తీకరణ e మరియు స్ట్రింగ్ x ∈ {0,1}nని ఇన్‌పుట్‌గా తీసుకుంటుంది, గరిష్టంగా C(|e|) దశల గణనను చేస్తుంది మరియు తరువాత కొంత వ్యక్తీకరణ e' మరియు n - 1 పొడవు గల స్ట్రింగ్ x'తో తనను తాను పిలుస్తుంది.


This solves to O(n) where the implicit constant in the O notation can (and will) depend on e but crucially, not on the length of the input x.

ఇది O(n)కి పరిష్కరిస్తుంది, ఇక్కడ O సంజ్ఞామానంలోని అంతర్లీన స్థిరాంకం eపై ఆధారపడి ఉంటుంది, కానీ ముఖ్యంగా, ఇన్‌పుట్ x యొక్క పొడవుపై కాదు.


The Turing machine starts in the START state.

ట్యూరింగ్ యంత్రం ప్రారంభ స్థితిలో మొదలవుతుంది.


It moves right, looking for the first symbol that is 0 or 1.

ఇది కుడివైపుకు కదులుతుంది, 0 లేదా 1 అయిన మొదటి చిహ్నం కోసం చూస్తుంది.


If it finds ∅ before it hits such a symbol then it moves to the OUTPUT_1 state.

అలాంటి చిహ్నాన్ని తాకడానికి ముందు అది ∅ ని కనుగొంటే, అది OUTPUT_1 స్థితికి వెళుతుంది.


Once 푀 finds such a symbol 푏 ∈ {0,1}, 푀 deletes 푏 from the tape.

푀 అలాంటి చిహ్నం 푏 ∈ {0,1} ని కనుగొన్న తర్వాత, 푀 టేప్ నుండి 푏 ని తొలగిస్తుంది.


It enters either the RIGHT_푏 mode and starts moving rightwards.

ఇది RIGHT_푏 మోడ్‌లోకి ప్రవేశిస్తుంది మరియు కుడివైపుకు కదలడం ప్రారంభిస్తుంది.


Once 푀 finds this symbol, it goes into the state LOOK_FOR_0 or LOOK_FOR_1.

푀 ఈ చిహ్నాన్ని కనుగొన్న తర్వాత, అది LOOK_FOR_0 లేదా LOOK_FOR_1 స్థితిలోకి వెళుతుంది.


In the state LOOK_FOR_푏, 푀 checks whether the value on the tape is 푏.

LOOK_FOR_푏 స్థితిలో, టేప్‌పై ఉన్న విలువ 푏 అని 푀 తనిఖీ చేస్తుంది.


If it is, then 푀 deletes it by changing its value to ×, and moves to the state RETURN.

అయితే, 푀 దాని విలువను ×కి మార్చడం ద్వారా దాన్ని తొలగిస్తుంది మరియు RETURN స్థితికి వెళుతుంది.


The RETURN state means that 푀 goes back to the beginning.

RETURN స్థితి అంటే 푀 ప్రారంభానికి తిరిగి వెళుతుంది.


The OUTPUT_푏 states mean that 푀 will eventually output the value 푏.

OUTPUT_푏 స్థితులు అంటే 푀 చివరికి 푏 విలువను అవుట్‌పుట్ చేస్తుంది.


In both the OUTPUT_0 and OUTPUT_1 states, 푀 goes left until it hits ▷.

OUTPUT_0 మరియు OUTPUT_1 స్థితులలో, 푀 ▷ ని తాకే వరకు ఎడమవైపుకు వెళుతుంది.


Once it does so, it makes a right step, and changes to the 1_AND_BLANK or 0_AND_BLANK states respectively.

అలా చేసిన తర్వాత, అది కుడివైపు అడుగు వేస్తుంది మరియు వరుసగా 1_AND_BLANK లేదా 0_AND_BLANK స్థితులకు మారుతుంది.


In the latter states, 푀 writes the corresponding value, moves right and changes to the BLANK_AND_STOP state.

తరువాతి స్థితులలో, 푀 సంబంధిత విలువను వ్రాస్తుంది, కుడివైపుకు కదులుతుంది మరియు BLANK_AND_STOP స్థితికి మారుతుంది.


The above description can be turned into a table describing for each one of the 11 ⋅ 5 combination of state and symbol.

పై వివరణను స్థితి మరియు చిహ్నం యొక్క ప్రతి 11 ⋅ 5 కలయిక కోసం వివరించే పట్టికగా మార్చవచ్చు.


This table is known as the transition function of the Turing machine.

ఈ పట్టికను ట్యూరింగ్ యంత్రం యొక్క పరివర్తన ఫంక్షన్ అని పిలుస్తారు.


A Turing machine has access to a tape of unbounded length.

ట్యూరింగ్ యంత్రం అపరిమిత పొడవు గల టేప్‌ను యాక్సెస్ చేస్తుంది.


At each point in the execution, the machine can read a single symbol of the tape.

ఎగ్జిక్యూషన్ సమయంలో, యంత్రం టేప్ యొక్క ఒకే చిహ్నాన్ని చదవగలదు.


The formal definition of Turing machines is as follows:

ట్యూరింగ్ యంత్రాల యొక్క అధికారిక నిర్వచనం క్రింది విధంగా ఉంది:


We initialize T to be the sequence ▷, x0, x1, ..., xn−1, ∅, ∅, ...

మేము T ని ▷, x0, x1, ..., xn−1, ∅, ∅, ... క్రమంగా ప్రారంభిస్తాము.


మేము i = 0 మరియు s = 0ని కూడా ప్రారంభిస్తాము.


The concept of Turing completeness is fundamental in computer science.

కంప్యూటర్ సైన్స్ లో ట్యూరింగ్ సంపూర్ణత భావన ప్రాథమికమైనది.


RAM machines are closer to the architecture of modern computers.

RAM యంత్రాలు ఆధునిక కంప్యూటర్ల నిర్మాణానికి దగ్గరగా ఉంటాయి.


Turing machines and RAM machines are equivalent in computational power.

ట్యూరింగ్ యంత్రాలు మరియు RAM యంత్రాలు గణన శక్తిలో సమానంగా ఉంటాయి.


We can simulate any program in C using a NAND-TM program.

NAND-TM ప్రోగ్రామ్ ఉపయోగించి మనం C లోని ఏదైనా ప్రోగ్రామ్‌ను అనుకరించవచ్చు.


The Church-Turing Thesis is a widely believed claim.

చర్చ్-ట్యూరింగ్ సిద్ధాంతం విస్తృతంగా నమ్మబడే వాదన.


Cellular automata can be modeled as collections of simple components.

కణిత ఆటోమాటాను సాధారణ భాగాల సేకరణలుగా నమూనా చేయవచ్చు.


The lambda calculus is a model for expressing computation.

లాంబ్డా కాలిక్యులస్ గణనను వ్యక్తీకరించడానికి ఒక నమూనా.


Two computational models are equivalent if they can compute the same set of functions.

రెండు గణన నమూనాలు ఒకే విధమైన ఫంక్షన్లను లెక్కించగలిగితే సమానంగా ఉంటాయి.


All general-purpose programming languages are Turing Complete.

అన్ని సాధారణ-ప్రయోజన ప్రోగ్రామింగ్ భాషలు ట్యూరింగ్ సంపూర్ణంగా ఉంటాయి.


RAM machines capture the architecture of modern computers more closely.

RAM యంత్రాలు ఆధునిక కంప్యూటర్ల నిర్మాణాన్ని మరింత దగ్గరగా సంగ్రహిస్తాయి.


Turing equivalence is a powerful principle in computer science.

ట్యూరింగ్ సమానత్వం కంప్యూటర్ సైన్స్ లో ఒక శక్తివంతమైన సూత్రం.


We can choose the model of our convenience for the task at hand.

మనకు అందుబాటులో ఉన్న పని కోసం మన సౌలభ్యం కోసం నమూనాను ఎంచుకోవచ్చు.


NAND-RAM extends NAND-TM by adding features.

NAND-RAM లక్షణాలను జోడించడం ద్వారా NAND-TM ని విస్తరిస్తుంది.


The proof involves transforming a NAND-RAM program to an equivalent NAND-TM program.

ప్రూఫ్ NAND-RAM ప్రోగ్రామ్‌ను సమానమైన NAND-TM ప్రోగ్రామ్‌గా మార్చడం కలిగి ఉంటుంది.


Indexed access to arrays is a key feature.

అరేలకు సూచిక ప్రాప్యత ఒక ముఖ్య లక్షణం.


We can implement recursion using a stack data structure.

స్టాక్ డేటా నిర్మాణం ఉపయోగించి మనం పునరావృత్తిని అమలు చేయవచ్చు.


Actual microprocessors have a fixed word size.

నిజమైన మైక్రోప్రాసెసర్‌లకు స్థిరమైన పద పరిమాణం ఉంటుంది.


The running time of an algorithm on a RAM machine is correlated with its practical efficiency.

RAM యంత్రంపై ఒక అల్గారిథం యొక్క రన్ టైమ్ దాని ఆచరణాత్మక సామర్థ్యంతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది.


The main difference between RAM machines and actual microprocessors is the word size.

RAM యంత్రాలు మరియు వాస్తవ మైక్రోప్రాసెసర్‌ల మధ్య ప్రధాన వ్యత్యాసం పద పరిమాణం.


This chapter studies equivalence between models.

ఈ అధ్యాయం నమూనాల మధ్య సమానత్వాన్ని అధ్యయనం చేస్తుంది.


The Turing machine simulates each iteration of the program by updating its state and tape accordingly.

ట్యూరింగ్ యంత్రం దాని స్థితి మరియు టేప్‌ను తదనుగుణంగా అప్‌డేట్ చేయడం ద్వారా ప్రోగ్రామ్ యొక్క ప్రతి పునరావృత్తిని అనుకరిస్తుంది.


We can encode the set {L, R, S, H} using {0, 1}2.

{L, R, S, H} సమితిని {0, 1}2 ఉపయోగించి ఎన్‌కోడ్ చేయవచ్చు.


The Turing machine will enter into a special loop to copy the results of the Y array into the output and then halt.

ట్యూరింగ్ యంత్రం Y శ్రేణి ఫలితాలను అవుట్‌పుట్‌లోకి కాపీ చేయడానికి మరియు ఆపై ఆగిపోవడానికి ఒక ప్రత్యేక లూప్‌లోకి ప్రవేశిస్తుంది.


The key observation is that by Theorem 4.12 we can compute every finite function using a NAND-CIRC program.

కీలకమైన పరిశీలన ఏమిటంటే, సిద్ధాంతం 4.12 ద్వారా, మేము NAND-CIRC ప్రోగ్రామ్‌ను ఉపయోగించి ప్రతి పరిమిత ఫంక్షన్‌ను లెక్కించవచ్చు.


We will show that given a Turing machine M, we can find a NAND-TM program P M such that for every input x, if M halts on input x with output y then P M (x) = y.

ఒక ట్యూరింగ్ యంత్రం M ఇచ్చినట్లయితే, ప్రతి ఇన్‌పుట్ x కోసం, M ఇన్‌పుట్ xపై y అవుట్‌పుట్‌తో ఆగిపోతే P M (x) = y ఉండేలా మేము NAND-TM ప్రోగ్రామ్ P M ని కనుగొనగలమని మేము చూపిస్తాము.


The machine M simulates each iteration of the program P by updating its state and tape accordingly.

మెషిన్ M దాని స్థితి మరియు టేప్‌ను తదనుగుణంగా అప్‌డేట్ చేయడం ద్వారా ప్రోగ్రామ్ P యొక్క ప్రతి పునరావృత్తిని అనుకరిస్తుంది.


The overall operation of the Turing machine will be as follows:

ట్యూరింగ్ యంత్రం యొక్క మొత్తం ఆపరేషన్ ఈ విధంగా ఉంటుంది:


We can implement more advanced looping constructs than the simple MODANDJUMP.

మేము సాధారణ MODANDJUMP కంటే అధునాతన లూపింగ్ నిర్మాణాలను అమలు చేయవచ్చు.


ఉదాహరణకు, మేము GOTOని అమలు చేయవచ్చు.


The main trouble with GOTO is that it makes analysis of programs more difficult.

GOTOతో ప్రధాన సమస్య ఏమిటంటే ఇది ప్రోగ్రామ్‌ల విశ్లేషణను మరింత కష్టతరం చేస్తుంది.


We can use “syntactic sugar” to make NAND-TM programs easier to write.

NAND-TM ప్రోగ్రామ్‌లను వ్రాయడం సులభతరం చేయడానికి మేము “సింటాక్టిక్ షుగర్”ని ఉపయోగించవచ్చు.


In contrast, the difference between a function F and a Turing machine that computes F is much more profound.

దీనికి విరుద్ధంగా, ఫంక్షన్ F మరియు Fని గణించే ట్యూరింగ్ యంత్రం మధ్య వ్యత్యాసం చాలా లోతైనది.


These are models where each individual program/circuit can compute a finite function.

ఇవి నమూనాలు, ఇక్కడ ప్రతి వ్యక్తి ప్రోగ్రామ్/సర్క్యూట్ పరిమిత ఫంక్షన్‌ను గణించగలదు.


Turing machines can have inputs and outputs that are longer than the description of the machine as a string.

ట్యూరింగ్ యంత్రాలు ఒక స్ట్రింగ్‌గా యంత్రం యొక్క వివరణ కంటే పొడవుగా ఉండే ఇన్‌పుట్‌లు మరియు అవుట్‌పుట్‌లను కలిగి ఉంటాయి.


The key difference between NAND-CIRC and NAND-TM is that NAND-TM allows us to express the fact that the algorithm for computing parities of length-100 strings is really the same one as the algorithm for computing parities of length-5 strings.

NAND-CIRC మరియు NAND-TM మధ్య ముఖ్యమైన వ్యత్యాసం ఏమిటంటే, పొడవు-100 స్ట్రింగ్‌ల సమానత్వాలను గణించే అల్గారిథం వాస్తవానికి పొడవు-5 స్ట్రింగ్‌ల సమానత్వాలను గణించే అల్గారిథమ్‌తో సమానమని NAND-TM మనకు వ్యక్తీకరించడానికి అనుమతిస్తుంది.


This notion of a single algorithm that can compute functions of all input lengths is known as uniformity of computation.

అన్ని ఇన్‌పుట్ పొడవుల ఫంక్షన్లను గణించగల ఒకే అల్గారిథం యొక్క ఈ భావనను గణన యొక్క ఏకరూపత అంటారు.


We will come back to this point in Chapter 9.

మనం ఈ విషయాన్ని 9వ అధ్యాయంలో తిరిగి చర్చిద్దాం.


Unlike NAND-CIRC or Boolean circuits, the number of steps that a Turing machine takes on a given input is not fixed in advance.

NAND-CIRC లేదా బూలియన్ సర్క్యూట్‌ల వలె కాకుండా, ఇచ్చిన ఇన్‌పుట్‌పై ట్యూరింగ్ యంత్రం తీసుకునే దశల సంఖ్య ముందుగానే నిర్ణయించబడలేదు.


In fact, a Turing machine or a NAND-TM program can enter into an infinite loop on certain inputs, and not halt at all.

వాస్తవానికి, ట్యూరింగ్ యంత్రం లేదా NAND-TM ప్రోగ్రామ్ కొన్ని ఇన్‌పుట్‌లపై అనంతమైన లూప్‌లోకి ప్రవేశించవచ్చు మరియు అస్సలు ఆగకపోవచ్చు.


Produce the code of a (syntactic-sugar free) NAND-TM program P that computes the (unbounded input length) Majority function.

(సింటాక్టిక్-షుగర్ లేని) NAND-TM ప్రోగ్రామ్ P యొక్క కోడ్‌ను రూపొందించండి, ఇది (అపరిమిత ఇన్‌పుట్ పొడవు) మెజారిటీ ఫంక్షన్‌ను లెక్కిస్తుంది.


The study of Turing machines is fundamental to computer science.

ట్యూరింగ్ యంత్రాల అధ్యయనం కంప్యూటర్ సైన్స్ కు మూలం.


Programming languages are often classified based on their Turing completeness.

ప్రోగ్రామింగ్ భాషలను తరచుగా వాటి ట్యూరింగ్ సంపూర్ణత ఆధారంగా వర్గీకరిస్తారు.


A Turing machine can simulate any other computational model.

ఒక ట్యూరింగ్ యంత్రం ఏదైనా ఇతర గణన నమూనాను అనుకరించగలదు.


The concept of Turing equivalence is crucial in understanding the limits of computation.

గణన పరిమితులను అర్థం చేసుకోవడానికి ట్యూరింగ్ సమానత్వం యొక్క భావన చాలా ముఖ్యం.


We can use Turing machines to prove what cannot be computed.

ఏది గణించలేమో నిరూపించడానికి మనం ట్యూరింగ్ యంత్రాలను ఉపయోగించవచ్చు.


RAM machines are easier to program than Turing machines for certain tasks.

కొన్ని పనుల కోసం ట్యూరింగ్ యంత్రాల కంటే RAM యంత్రాలను ప్రోగ్రామ్ చేయడం సులభం.


High-level programming languages are often used to describe algorithms.

అల్గారిథమ్‌లను వివరించడానికి తరచుగా ఉన్నత స్థాయి ప్రోగ్రామింగ్ భాషలను ఉపయోగిస్తారు.


The ability to move between different levels of abstraction is a key skill for computer scientists.

అబ్‌స్ట్రాక్షన్ యొక్క వివిధ స్థాయిల మధ్య మారగల సామర్థ్యం కంప్యూటర్ శాస్త్రవేత్తలకు ఒక ముఖ్యమైన నైపుణ్యం.


Algorithms can be described at different levels of detail.

అల్గారిథమ్‌లను వివిధ వివరాల స్థాయిలలో వివరించవచ్చు.


Turing completeness is a fundamental property of programming languages.

ట్యూరింగ్ సంపూర్ణత ప్రోగ్రామింగ్ భాషల యొక్క ప్రాథమిక లక్షణం.


Cellular automata provide an alternative model of computation.

సెల్యులార్ ఆటోమేటా గణన యొక్క ప్రత్యామ్నాయ నమూనాను అందిస్తుంది.


The Game of Life is a classic example of a cellular automaton.

లైఫ్ గేమ్ సెల్యులార్ ఆటోమేటాకు ఒక క్లాసిక్ ఉదాహరణ.


One-dimensional cellular automata can also be Turing complete.

ఒక-డైమెన్షనల్ సెల్యులార్ ఆటోమేటా కూడా ట్యూరింగ్ సంపూర్ణంగా ఉండవచ్చు.


The lambda calculus is another model of computation.

లాంబ్డా కాలిక్యులస్ అనేది గణన యొక్క మరొక నమూనా.


Functional programming languages are inspired by the lambda calculus.

ఫంక్షనల్ ప్రోగ్రామింగ్ భాషలు లాంబ్డా కాలిక్యులస్ ద్వారా ప్రేరణ పొందాయి.


Anonymous functions are a key feature of the lambda calculus.

అనామక విధులు లాంబ్డా కాలిక్యులస్ యొక్క ముఖ్య లక్షణం.


Understanding the lambda calculus requires careful study.

లాంబ్డా కాలిక్యులస్‌ను అర్థం చేసుకోవడానికి జాగ్రత్తగా అధ్యయనం అవసరం.


The concept of Turing machines is essential for theoretical computer science.

సిద్ధాంతిక కంప్యూటర్ సైన్స్ కోసం ట్యూరింగ్ యంత్రాల భావన చాలా అవసరం.


We can simulate NAND-TM programs using these programming languages.

ఈ ప్రోగ్రామింగ్ భాషలను ఉపయోగించి మనం NAND-TM ప్రోగ్రామ్‌లను అనుకరించవచ్చు.


The equivalence between Turing machines and RAM machines allows us to choose the most convenient language.

ట్యూరింగ్ యంత్రాలు మరియు RAM యంత్రాల మధ్య సమానత్వం మనకు అత్యంత అనుకూలమైన భాషను ఎంచుకోవడానికి అనుమతిస్తుంది.


The concept of a universal machine is fundamental to computer science.

సార్వత్రిక యంత్రం యొక్క భావన కంప్యూటర్ సైన్స్ కు మూలమైనది.


Turing's work laid the groundwork for modern computing.

ఆధునిక కంప్యూటింగ్ కు ట్యూరింగ్ యొక్క పని పునాది వేసింది.


A universal Turing machine can simulate any other Turing machine.

ఒక సార్వత్రిక ట్యూరింగ్ యంత్రం ఏదైనా ఇతర ట్యూరింగ్ యంత్రాన్ని అనుకరించగలదు.


The halting problem is a classic example of an undecidable problem.

నిలిపివేసే సమస్య పరిష్కరించలేని సమస్యకు ఒక క్లాసిక్ ఉదాహరణ.


Reductions are a key technique in proving the uncomputability of functions.

ఫంక్షన్ల అన్ కంప్టబిలిటీని నిరూపించడంలో తగ్గింపులు ఒక ముఖ్యమైన సాంకేతికత.


The Church-Turing thesis is a cornerstone of theoretical computer science.

చర్చ్-ట్యూరింగ్ సిద్ధాంతం సిద్ధాంతపరమైన కంప్యూటర్ సైన్స్ కు మూలస్తంభం.


A computer program is a set of instructions for a computer.

కంప్యూటర్ ప్రోగ్రామ్ అనేది కంప్యూటర్ కోసం సూచనల సమితి.


The universal machine concept allows for a single machine to perform many tasks.

సార్వత్రిక యంత్రం భావన ఒకే యంత్రం అనేక పనులను చేయడానికి వీలు కల్పిస్తుంది.


Software is a set of instructions that tell a computer what to do.

కంప్యూటర్ ఏమి చేయాలో చెప్పే సూచనల సమితి సాఫ్ట్‌వేర్.


The study of algorithms is crucial for understanding computer science.

కంప్యూటర్ సైన్స్ ను అర్థం చేసుకోవడానికి అల్గారిథమ్‌ల అధ్యయనం చాలా ముఖ్యం.


Uncomputable functions cannot be solved by any algorithm.

అన్ కంప్టబుల్ ఫంక్షన్లను ఏ అల్గారిథమ్ ద్వారా పరిష్కరించలేము.


The halting problem asks whether a program will eventually stop.

ఒక ప్రోగ్రామ్ చివరికి ఆగిపోతుందా అని నిలిపివేసే సమస్య అడుగుతుంది.


A reduction transforms one problem into another.

ఒక తగ్గింపు ఒక సమస్యను మరొక సమస్యగా మారుస్తుంది.


The concept of a meta-circular evaluator is important.

మెటా-సర్క్యులర్ ఎవాల్యుయేటర్ భావన ముఖ్యం.


The universal machine is a powerful idea.

సార్వత్రిక యంత్రం ఒక శక్తివంతమైన ఆలోచన.


Understanding the limits of computation is essential.

కంప్యూటేషన్ పరిమితులను అర్థం చేసుకోవడం చాలా అవసరం.


The existence of uncomputable functions is a profound result.

అన్ కంప్టబుల్ ఫంక్షన్ల ఉనికి ఒక లోతైన ఫలితం.


The halting problem is a classic example of an unsolvable problem.


The universal machine can run any program.

సార్వత్రిక యంత్రం ఏదైనా ప్రోగ్రామ్‌ను అమలు చేయగలదు.


This chapter explores the limits of what computers can do.

ఈ అధ్యాయం కంప్యూటర్లు ఏమి చేయగలవో దాని పరిమితులను అన్వేషిస్తుంది.


The function maps x to the function y ↦ x+y.

ఈ ఫంక్షన్ x ని y ↦ x+y ఫంక్షన్ కు మ్యాప్ చేస్తుంది.


Generally, we can use the λ expression to simulate the effect of a two argument function.

సాధారణంగా, రెండు ఆర్గ్యుమెంట్ ఫంక్షన్ యొక్క ప్రభావాన్ని అనుకరించడానికి మనం λ వ్యక్తీకరణను ఉపయోగించవచ్చు.


ఈ సాంకేతికతను క్యారీయింగ్ అంటారు.


We will use the shorthand for λx.(λy.e).

మేము λx.(λy.e) కోసం సంక్షిప్త రూపాన్ని ఉపయోగిస్తాము.


If f = λx.(λy.e) then (f a)b corresponds to applying fa and then invoking the resulting function on b.

f = λx.(λy.e) అయితే, (f a)b అనేది fa ని వర్తింపజేయడానికి మరియు b పై ఫలిత ఫంక్షన్‌ను అమలు చేయడానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.


We now provide a formal description of the λ calculus.

ఇప్పుడు మనం λ కాలిక్యులస్ యొక్క అధికారిక వివరణను అందిస్తున్నాము.


A λ expression is either a single variable identifier or an expression e of the one of the following forms.

ఒక λ వ్యక్తీకరణ ఒకే వేరియబుల్ గుర్తింపు లేదా కింది రూపాల్లో ఒకదాని యొక్క వ్యక్తీకరణ e.


Application: e = (e' e''), where e' and e'' are λ expressions.

అప్లికేషన్: e = (e' e''), ఇక్కడ e' మరియు e'' లు λ వ్యక్తీకరణలు.


Abstraction: e = λx.(e') where e' is a λ expression.

అబ్‌స్ట్రాక్షన్: e = λx.(e') ఇక్కడ e' అనేది λ వ్యక్తీకరణ.


This might seem confusing at first, but in fact you have known recursive definitions since you were an elementary school student.

ఇది మొదట గందరగోళంగా అనిపించవచ్చు, కానీ వాస్తవానికి మీరు ప్రాథమిక పాఠశాల విద్యార్థిగా ఉన్నప్పటి నుండి పునరావృత నిర్వచనాలను తెలుసుకున్నారు.


Consider how we define an arithmetic expression.

ఒక అంకగణిత వ్యక్తీకరణను మనం ఎలా నిర్వచిస్తామో పరిశీలించండి.


Variables in a λ expression can either be free or bound to a λ operator.

λ వ్యక్తీకరణలోని వేరియబుల్స్ ఉచితంగా ఉండవచ్చు లేదా λ ఆపరేటర్‌కు బౌండ్ చేయబడవచ్చు.


Function application associates from left to right.

ఫంక్షన్ అప్లికేషన్ ఎడమ నుండి కుడికి అనుసంధానిస్తుంది.


Function application has a higher precedence than the λ operator.

ఫంక్షన్ అప్లికేషన్ λ ఆపరేటర్ కంటే ఎక్కువ ప్రాధాన్యతను కలిగి ఉంది.


We also use the shorthand λx,y.e for λx.(λy.e) and the shorthand f(x,y) for (f x) y.

మేము λx,y.e ని λx.(λy.e) కోసం మరియు f(x,y) ని (f x) y కోసం సంక్షిప్త రూపంగా ఉపయోగిస్తాము.


This plays nicely with the “Currying” transformation of simulating multi-input functions using λ expressions.

λ వ్యక్తీకరణలను ఉపయోగించి బహుళ-ఇన్‌పుట్ ఫంక్షన్లను అనుకరించే “క్యారీయింగ్” పరివర్తనతో ఇది బాగా పనిచేస్తుంది.


Two λ expressions are equivalent if they can be made into the same expression by repeated applications of the following rules.

కింది నియమాల యొక్క పునరావృత అనువర్తనాల ద్వారా రెండు λ వ్యక్తీకరణలను ఒకే వ్యక్తీకరణగా మార్చగలిగితే అవి సమానంగా ఉంటాయి.


Evaluation (aka β reduction): The expression (λx.exp)exp' is equivalent to exp[x → exp'].

మూల్యాంకనం (అకా β తగ్గింపు): వ్యక్తీకరణ (λx.exp)exp' అనేది exp[x → exp']కి సమానం.


Variable renaming (aka α conversion): The expression λx.exp is equivalent to λy.exp[x → y].

వేరియబుల్ పేరు మార్చడం (అకా α మార్పిడి): వ్యక్తీకరణ λx.exp అనేది λy.exp[x → y]కి సమానం.


Since in the λ calculus the inputs can themselves be functions, we need to decide in what order we evaluate an expression.

λ కాలిక్యులస్‌లో ఇన్‌పుట్‌లు కూడా ఫంక్షన్‌లుగా ఉండవచ్చు కాబట్టి, మనం ఏ క్రమంలో వ్యక్తీకరణను మూల్యాంకనం చేయాలో నిర్ణయించుకోవాలి.


The machine halted after processing the input.

మెషిన్ ఇన్పుట్ను ప్రాసెస్ చేసిన తర్వాత ఆగిపోయింది.


Uncomputable functions cannot be computed by any Turing machine.

ఏ ట్యూరింగ్ యంత్రం ద్వారా కూడా లెక్కించలేని ఫంక్షన్లను లెక్కించలేము.


The program will halt if and only if the input is valid.

ఇన్పుట్ చెల్లుబాటు అయితేనే ప్రోగ్రామ్ ఆగుతుంది.


We saw examples of uncomputable functions.

మేము లెక్కించలేని ఫంక్షన్లకు ఉదాహరణలు చూశాము.


Unlike finite computation, there are functions that are inherently uncomputable.

పరిమిత గణనతో పోలిస్తే, స్వతహాగా లెక్కించలేని ఫంక్షన్లు ఉన్నాయి.


The Church-Turing thesis suggests that uncomputable functions cannot be computed in our physical world.

చర్చ్-ట్యూరింగ్ సిద్ధాంతం ప్రకారం లెక్కించలేని ఫంక్షన్లను మన భౌతిక ప్రపంచంలో లెక్కించలేము.


NANDRAMHALT లెక్కించలేనిదని నిరూపించండి.


TIMEDHALT అనేది లెక్కించదగిన ఫంక్షన్.


SPACEHALT అనేది లెక్కించదగిన ఫంక్షన్.


H(x) లెక్కించదగినదా కాదా అని నిర్ణయించండి.


FINITE లెక్కించలేనిదని నిరూపించండి.


EQ ఫంక్షన్ లెక్కించలేనిది.


Is the following function computable or not?

కింది ఫంక్షన్ లెక్కించదగినదా లేదా?


F లెక్కించలేనిదని నిరూపించండి.


Define a recursively enumerable function.

పునరావృతంగా లెక్కించదగిన ఫంక్షన్ను నిర్వచించండి.


Prove that every computable function is also recursively enumerable.

ప్రతి లెక్కించదగిన ఫంక్షన్ కూడా పునరావృతంగా లెక్కించదగినదని నిరూపించండి.


G తప్పనిసరిగా అర్థవంతమైనది అని చూపించండి.


రైస్ సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించండి.


The Busy Beaver function is uncomputable.

బిజీ బీవర్ ఫంక్షన్ లెక్కించలేనిది.


NBB, TOWER కంటే వేగంగా పెరుగుతుంది.


The interpreter will continue the simulation until the machine halts.

మెషిన్ ఆగిపోయే వరకు ఇంటర్‌ప్రెటర్ అనుకరణను కొనసాగిస్తుంది.


Once you do that, translating this interpreter from your favorite programming language to a Turing machine can be done just as we have seen in Chapter 8.

మీకు నచ్చిన ప్రోగ్రామింగ్ భాష నుండి ట్యూరింగ్ మెషిన్‌కు ఈ ఇంటర్‌ప్రెటర్‌ను అనువదించడం మీరు 8వ అధ్యాయంలో చూసిన విధంగానే చేయవచ్చు.


The end result is what’s known as a “meta-circular evaluator”.

చివరి ఫలితం “మెటా-సర్క్యులర్ ఎవాల్యుయేటర్”గా పిలువబడుతుంది.


This is a concept that has a long history in computer science starting from the original universal Turing machine.

ఇది అసలైన యూనివర్సల్ ట్యూరింగ్ మెషిన్ నుండి ప్రారంభమయ్యే కంప్యూటర్ సైన్స్‌లో సుదీర్ఘ చరిత్ర కలిగిన ఒక భావన.


To prove (and even properly state) Theorem 9.1, we need to fix some representation for Turing machines as strings.

теорема 9.1ని నిరూపించడానికి (మరియు సరిగ్గా చెప్పడానికి), మనం ట్యూరింగ్ మెషీన్‌ల కోసం కొన్ని ప్రాతినిధ్యాన్ని స్ట్రింగ్‌లుగా పరిష్కరించాలి.


One potential choice for such a representation is to use the equivalence between Turing machines and NAND-TM programs.

అటువంటి ప్రాతినిధ్యానికి ఒక సంభావ్య ఎంపిక ఏమిటంటే ట్యూరింగ్ మెషీన్‌లు మరియు NAND-TM ప్రోగ్రామ్‌ల మధ్య సమానత్వాన్ని ఉపయోగించడం.


We represent 푀as the triple (푘,ℓ,푇) where 푇 is the table of values for 훿 푀.

푀 ని ట్రిపుల్ (푘,ℓ,푇)గా సూచిస్తాము, ఇక్కడ 푇 అనేది 훿 푀 కోసం విలువలను కలిగి ఉన్న పట్టిక.


The string representation of 푀 is obtained by concatenating a prefix free representation of all these integers.

푀 యొక్క స్ట్రింగ్ ప్రాతినిధ్యం ఈ పూర్ణాంకాలన్నింటి యొక్క ఉపసర్గ రహిత ప్రాతినిధ్యాన్ని కలిపి పొందబడుతుంది.


We can represent every Turing machine as a string.

మనం ప్రతి ట్యూరింగ్ మెషీన్‌ను ఒక స్ట్రింగ్‌గా సూచించవచ్చు.


Given the string representation of a Turing machine 푀 and an input 푥, we can simulate 푀’s execution on the input 푥.

ట్యూరింగ్ మెషిన్ 푀 యొక్క స్ట్రింగ్ ప్రాతినిధ్యం మరియు ఒక ఇన్పుట్ 푥 ఇచ్చినట్లయితే, మనం ఇన్పుట్ 푥 పై 푀 యొక్క అమలును అనుకరించవచ్చు.


We can easily write a Python program that, on input a representation (푘,ℓ,푇) of a Turing machine 푀 and an input 푥, evaluates 푀 on 푥.

ఒక ట్యూరింగ్ మెషిన్ 푀 యొక్క ప్రాతినిధ్యం (푘,ℓ,푇) మరియు ఒక ఇన్పుట్ 푥 ఇచ్చినప్పుడు, 푀 ని 푥 పై అంచనా వేసే ఒక పైథాన్ ప్రోగ్రామ్‌ను మనం సులభంగా రాయవచ్చు.


With enough effort, we can translate this Python code line by line to a Turing machine.

తగినంత ప్రయత్నంతో, మనం ఈ పైథాన్ కోడ్‌ను లైన్ బై లైన్‌గా ట్యూరింగ్ మెషిన్‌కు అనువదించవచ్చు.


The only issue is that NAND-RAM doesn’t have the dictionary data structure built in.

ఒకే సమస్య ఏమిటంటే NAND-RAMలో నిఘంటువు డేటా నిర్మాణం అంతర్నిర్మితంగా లేదు.


However, we can represent a dictionary 퐷 of the form {푘푒푦 0 ∶ 푣푎푙 0 ,...,푘푒푦 푚−1 ∶ 푣푎푙 푚−1 } as simply a list of pairs.

అయితే, మనం {푘푒푦 0 ∶ 푣푎푙 0 ,...,푘푒푦 푚−1 ∶ 푣푎푙 푚−1 } రూపంలో ఉన్న నిఘంటువు 퐷 ని జతల జాబితాగా సూచించవచ్చు.


To compute 퐷[푘] we can scan over all the pairs until we find one of the form (푘,푣) in which case we return 푣.

퐷[푘]ని లెక్కించడానికి, మనం (푘,푣) రూపంలో ఒకదాన్ని కనుగొనే వరకు అన్ని జతలను స్కాన్ చేయవచ్చు, అప్పుడు మనం 푣ని తిరిగి ఇస్తాము.


The argument in the proof of Theorem 9.1 is a very inefficient way to implement the dictionary data structure in practice.

теорема 9.1 యొక్క నిరూపణలో వాదన ఆచరణలో నిఘంటువు డేటా నిర్మాణాన్ని అమలు చేయడానికి చాలా అసమర్థమైన మార్గం.


There is more than one Turing machine 푈 that satisfies the conditions of Theorem 9.1.

теорема 9.1 యొక్క షరతులను నెరవేర్చే ఒకటి కంటే ఎక్కువ ట్యూరింగ్ మెషీన్ 푈 ఉన్నాయి.


Because we can simulate every Turing machine by a NAND-TM program and vice versa, Theorem 9.1 immediately implies there exists a universal NAND-TM program 푃 푈.

మనం ప్రతి ట్యూరింగ్ మెషీన్‌ను NAND-TM ప్రోగ్రామ్ ద్వారా అనుకరించవచ్చు మరియు దీనికి విరుద్ధంగా, теорема 9.1 వెంటనే ఒక సార్వత్రిక NAND-TM ప్రోగ్రామ్ 푃 푈 ఉందని సూచిస్తుంది.


The idea of a “universal program” is of course not limited to theory.

ఒక “సార్వత్రిక ప్రోగ్రామ్” ఆలోచన సిద్ధాంతానికి మాత్రమే పరిమితం కాదు.


For example compilers for programming languages are often used to compile themselves, as well as programs more complicated than the compiler.

ఉదాహరణకు ప్రోగ్రామింగ్ భాషల కోసం కంపైలర్‌లు తరచుగా తమను తాము కంపైల్ చేయడానికి ఉపయోగిస్తారు, అలాగే కంపైలర్‌ల కంటే సంక్లిష్టమైన ప్రోగ్రామ్‌లను కూడా ఉపయోగిస్తారు.


If we know that HALT is uncomputable, and we want to show that some other function BLAH is uncomputable, then we can do so via a contrapositive argument.

HALT ను లెక్కించలేమని మనకు తెలిస్తే, ఇతర ఫంక్షన్ BLAH ను లెక్కించలేమని చూపించాలనుకుంటే, మనం వ్యతిరేక వాదన ద్వారా అలా చేయవచ్చు.


That is, we show that if there exists a Turing machine that computes BLAH then there exists a Turing machine that computes HALT.

అంటే, BLAH ని లెక్కిస్తుంది అని ఒక ట్యూరింగ్ యంత్రం ఉంటే, HALT ని లెక్కిస్తుంది అని ఒక ట్యూరింగ్ యంత్రం కూడా ఉంది అని చూపిస్తాము.


For example, to prove that BLAH is uncomputable, we could show that there is a computable function R such that for every pair M and x, HALT(M,x) = BLAH(R(M,x)).

ఉదాహరణకు, BLAH ను లెక్కించలేమని నిరూపించడానికి, ప్రతి జత M మరియు x కోసం, HALT(M,x) = BLAH(R(M,x)) అని ఒక గణించదగిన ఫంక్షన్ R ఉందని మనం చూపించవచ్చు.


The confusing part about reductions is that we are assuming something we believe is false (that BLAH has an algorithm) to derive something that we know is false (that HALT has an algorithm).

తగ్గింపుల గురించి గందరగోళంగా ఉండే విషయం ఏమిటంటే, మనం తప్పు అని నమ్ముతున్న విషయాన్ని (BLAHకి అల్గారిథమ్ ఉంది) మనం తప్పు అని తెలిసిన విషయాన్ని (HALTకి అల్గారిథమ్ ఉంది) పొందడానికి ఊహిస్తున్నాము.


A reduction-based proof has two components.

తగ్గింపు-ఆధారిత రుజువు రెండు భాగాలను కలిగి ఉంటుంది.


For starters, since we need R to be computable, we should describe the algorithm to compute it.

ప్రారంభించడానికి, R ని గణించదగినదిగా ఉంచాలి కాబట్టి, దానిని లెక్కించడానికి అల్గారిథమ్‌ను వివరించాలి.


The algorithm to compute R is known as a reduction since the transformation R modifies an input to HALT to an input to BLAH, and hence reduces the task of computing HALT to the task of computing BLAH.

R ని లెక్కించే అల్గారిథమ్‌ను తగ్గింపుగా పిలుస్తారు, ఎందుకంటే R మార్పు HALTకి ఇన్‌పుట్‌ను BLAHకి ఇన్‌పుట్‌గా మారుస్తుంది, తద్వారా HALTని లెక్కించే పనిని BLAHని లెక్కించే పనికి తగ్గిస్తుంది.


The second component of a reduction-based proof is the analysis of the algorithm R: namely a proof that R does indeed satisfy the desired properties.

తగ్గింపు-ఆధారిత రుజువు యొక్క రెండవ భాగం అల్గారిథమ్ R యొక్క విశ్లేషణ: అంటే R వాస్తవానికి కావలసిన లక్షణాలను నెరవేరుస్తుందని రుజువు.


A reduction is an algorithm, which means that, as discussed in Remark 0.3, a reduction has three components.

తగ్గింపు అనేది ఒక అల్గారిథమ్, అంటే, రిమార్క్ 0.3లో చర్చించిన విధంగా, తగ్గింపు మూడు భాగాలను కలిగి ఉంటుంది.


In the case of a reduction from HALT to BLAH, the specification is that function R should satisfy that HALT(M,x) = BLAH(R(M,x)) for every Turing machine M and input x.

HALT నుండి BLAHకి తగ్గింపు విషయంలో, ప్రతి ట్యూరింగ్ యంత్రం M మరియు ఇన్‌పుట్ x కోసం ఫంక్షన్ R, HALT(M,x) = BLAH(R(M,x)) అని సంతృప్తి పరచాలి.


In general, to reduce a function F to G, the reduction should satisfy F(w) = G(R(w)) for every input w to F.

సాధారణంగా, ఫంక్షన్ Fని Gకి తగ్గించడానికి, తగ్గింపు Fకి ప్రతి ఇన్‌పుట్ w కోసం F(w) = G(R(w)) అని సంతృప్తి పరచాలి.


The algorithm’s description: the precise instructions how to transform an input w to the output y = R(w).

అల్గారిథమ్ యొక్క వివరణ: ఇన్‌పుట్ wని అవుట్‌పుట్ y = R(w)కి ఎలా మార్చాలనే దానిపై ఖచ్చితమైన సూచనలు.


A proof that the algorithm meets the specification.

అల్గారిథమ్ స్పెసిఫికేషన్‌ను కలిగి ఉందని రుజువు.


In particular, in a reduction from F to G this is a proof that for every input w, the output y = R(w) of the algorithm satisfies that F(w) = G(y).

ముఖ్యంగా, F నుండి Gకి తగ్గింపులో ఇది ప్రతి ఇన్‌పుట్ w కోసం, అల్గారిథమ్ యొక్క అవుట్‌పుట్ y = R(w), F(w) = G(y) అని సంతృప్తిపరుస్తుందని రుజువు.


Here is a concrete example for a proof by reduction.

ఇక్కడ తగ్గింపు ద్వారా రుజువుకు ఒక నిర్దిష్ట ఉదాహరణ ఉంది.


We define the function HALTONZERO : {0,1}* -> {0,1} as follows.

మేము HALTONZERO : {0,1}* -> {0,1} ఫంక్షన్‌ను ఈ విధంగా నిర్వచిస్తాము.


Given any string M, HALTONZERO(M) = 1 if and only if M describes a Turing machine that halts when it is given the string 0 as input.

ఏదైనా స్ట్రింగ్ M ఇచ్చినట్లయితే, M అనేది 0 స్ట్రింగ్‌ను ఇన్‌పుట్‌గా ఇచ్చినప్పుడు ఆగిపోయే ట్యూరింగ్ యంత్రాన్ని వివరిస్తేనే HALTONZERO(M) = 1.


A priori HALTONZERO seems like a potentially easier function to compute than the full-fledged HALT function, and so we could perhaps hope that it is not uncomputable.

పూర్తి స్థాయి HALT ఫంక్షన్ కంటే HALTONZERO లెక్కించడం సులభమైన ఫంక్షన్ అనిపిస్తుంది, కాబట్టి ఇది లెక్కించలేనిది కాదని మనం ఆశించవచ్చు.


Alas, the following theorem shows that this is not the case.

అయ్యో, కింది సిద్ధాంతం ఇది అలా కాదని చూపిస్తుంది.


The proof of Theorem 9.9 is below, but before reading it you might want to pause for a couple of minutes and think how you would prove it yourself.

థియరం 9.9 యొక్క రుజువు క్రింద ఉంది, కానీ దాన్ని చదవడానికి ముందు మీరు కొన్ని నిమిషాలు ఆగి, మీరే ఎలా నిరూపించాలో ఆలోచించవచ్చు.


The algorithm computes whether a CFG matches a string.

ఒక CFG ఒక స్ట్రింగ్‌తో సరిపోలుతుందో లేదో అల్గారిథం లెక్కిస్తుంది.


Context-free grammars can capture every regular expression.

సందర్భ రహిత వ్యాకరణాలు ప్రతి సాధారణ వ్యక్తీకరణను సంగ్రహించగలవు.


మనం Φ ని గణించే వ్యాకరణాలను నిర్వచించవచ్చు.


The algorithm yields the sequence of rules.

అల్గారిథం నియమాల క్రమాన్ని ఇస్తుంది.


ఈ చెట్టును పార్స్ చెట్టు అని పిలుస్తారు.


Context-free grammars are more powerful than regular expressions.

సందర్భ రహిత వ్యాకరణాలు సాధారణ వ్యక్తీకరణల కంటే ఎక్కువ శక్తివంతమైనవి.


The function can be computed by a context-free grammar.

ఈ ఫంక్షన్‌ను సందర్భ రహిత వ్యాకరణం ద్వారా లెక్కించవచ్చు.


A simple grammar computing PAL can be described.

PAL ని గణించే ఒక సాధారణ వ్యాకరణాన్ని వివరించవచ్చు.


Prove that there is a context free grammar.

ఒక సందర్భ రహిత వ్యాకరణం ఉందని నిరూపించండి.


మనం ఒక స్ట్రింగ్‌ను వర్గీకరించవచ్చు.


Even though context-free grammars are more powerful.

సందర్భ రహిత వ్యాకరణాలు మరింత శక్తివంతమైనవి అయినప్పటికీ.


There are some simple languages that are not captured.

కొన్ని సాధారణ భాషలు ఉన్నాయి, అవి సంగ్రహించబడలేదు.


The context-free pumping lemma is cumbersome to state.

సందర్భ రహిత పంపింగ్ లెమ్మాను చెప్పడం కష్టం.


If a long enough string is matched by a grammar.

ఒక వ్యాకరణం ద్వారా తగినంత పొడవైన స్ట్రింగ్ సరిపోలితే.


మనం వ్యుత్పత్తిని పునరావృతం చేయవచ్చు.


ఫంక్షన్ సందర్భ రహితం కాదు.


మేము సందర్భ రహిత పంపింగ్ లెమ్మాను ఉపయోగిస్తాము.


Suppose towards the sake of contradiction.

వైరుధ్యం కోసం అనుకుందాం.


The limitations of context free grammars do provide some advantages.

సందర్భ రహిత వ్యాకరణాల పరిమితులు కొన్ని ప్రయోజనాలను అందిస్తాయి.


CFGల కోసం శూన్యత నిర్ణయించదగినది.


The theorem is a cornerstone of modern mathematics.

ఈ సిద్ధాంతం ఆధునిక గణితానికి మూలస్తంభం.


Gödel's Incompleteness Theorem shook the foundations of logic.

గోడెల్ యొక్క అసంపూర్ణ సిద్ధాంతం తర్కం యొక్క పునాదులను కదిలించింది.


Can you explain the concept of uncomputability?

అనిర్ధారిత భావనను మీరు వివరించగలరా?


The proof system must be both effective and sound.

ప్రూఫ్ సిస్టమ్ సమర్థవంతంగా మరియు ధ్వనితో ఉండాలి.


Mathematical statements can be represented as strings.

గణిత ప్రకటనలను స్ట్రింగ్స్‌గా సూచించవచ్చు.


అతను ఒక అద్భుతమైన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు.


The problem remains unsolved for centuries.

సమస్య శతాబ్దాలుగా పరిష్కరించబడలేదు.


This chapter explores the limits of computation.

ఈ అధ్యాయం గణన యొక్క పరిమితులను అన్వేషిస్తుంది.


The concept of a proof system is fundamental.

ప్రూఫ్ సిస్టమ్ యొక్క భావన ప్రాథమికమైనది.


The algorithm is designed to solve the problem.

సమస్యను పరిష్కరించడానికి అల్గారిథం రూపొందించబడింది.


అతను సంఖ్యా సిద్ధాంతాన్ని అధ్యయనం చేస్తున్నాడు.


The results were published in a prestigious journal.

ఫలితాలు ప్రతిష్టాత్మక పత్రికలో ప్రచురించబడ్డాయి.


The proof is quite complex and requires advanced knowledge.

ప్రూఫ్ చాలా క్లిష్టమైనది మరియు అధునాతన జ్ఞానం అవసరం.


The implications of the theorem are far-reaching.

సిద్ధాంతం యొక్క చిక్కులు చాలా దూరం వరకు ఉన్నాయి.


The research focuses on Diophantine equations.

పరిశోధన డియోఫాంటైన్ సమీకరణాలపై దృష్టి పెడుతుంది.


The mathematician made a groundbreaking discovery.

గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ఒక సంచలనాత్మక ఆవిష్కరణ చేశాడు.


సమస్య సహజంగానే నిరూపించలేనిది.


ఈ భావనను అర్థం చేసుకోవడం కష్టం.


The proof relies on a reduction from the Halting problem.

ప్రూఫ్ హాల్టింగ్ సమస్య నుండి తగ్గింపుపై ఆధారపడి ఉంటుంది.


The theorem has significant implications for computer science.

ఈ సిద్ధాంతం కంప్యూటర్ సైన్స్కు ముఖ్యమైన చిక్కులను కలిగి ఉంది.


The theorem is potentially easier to prove than the previous one.

ఈ సిద్ధాంతాన్ని మునుపటి దానికంటే నిరూపించడం సులభం.


Quantified mixed statements are uncomputable.

గుణాత్మక మిశ్రమ ప్రకటనలు లెక్కించదగినవి కావు.


The proof uses a reduction from the Halting problem.

ఈ రుజువు హాటింగ్ సమస్య నుండి తగ్గింపును ఉపయోగిస్తుంది.


A configuration encodes the state of the program.

ఒక కాన్ఫిగరేషన్ ప్రోగ్రామ్ యొక్క స్థితిని ఎన్‌కోడ్ చేస్తుంది.


Every coordinate of β is a function of three coordinates in α.

బీటా యొక్క ప్రతి కోఆర్డినేట్ ఆల్ఫాలోని మూడు కోఆర్డినేట్‌ల ఫంక్షన్.


A program halts on input x if and only if there is a sequence of configurations.

ఒక ప్రోగ్రామ్ ఇన్పుట్ x పై ఆగుతుంది, ఒక కాన్ఫిగరేషన్‌ల శ్రేణి ఉంటేనే.


We can encode such a sequence of configurations as a binary string.

మేము కాన్ఫిగరేషన్‌ల శ్రేణిని బైనరీ స్ట్రింగ్‌గా ఎన్‌కోడ్ చేయవచ్చు.


The uncomputability of HALTONZERO implies the uncomputability of QMS.

HALTONZERO యొక్క లెక్కించదగినది కాకపోవడం QMS యొక్క లెక్కించదగినది కాకపోవడాన్ని సూచిస్తుంది.


There are alternative proofs to show that QMS is uncomputable.

QMS లెక్కించదగినది కాదని చూపించడానికి ప్రత్యామ్నాయ రుజువులు ఉన్నాయి.


We will show a transformation of every quantified mixed statement.

మేము ప్రతి గుణాత్మక మిశ్రమ ప్రకటన యొక్క రూపాంతరంను చూపుతాము.


We encode every string by a pair of integers.

మేము ప్రతి స్ట్రింగ్‌ను జత సంఖ్యలతో ఎన్‌కోడ్ చేస్తాము.


We can replace a 'for all' quantifier over strings with quantifiers over integers.

స్ట్రింగ్‌లపై 'అన్నింటి కోసం' క్వాంటిఫైయర్‌ను పూర్ణాంకాలపై క్వాంటిఫైయర్‌లతో భర్తీ చేయవచ్చు.


This means that if we are able to define COORD via a quantified integer statement.

దీనర్థం, మనం COORDని గుణాత్మక పూర్ణాంక ప్రకటన ద్వారా నిర్వచించగలిగితే.


The uncomputability of QMS implies the uncomputability of QIS.

QMS యొక్క లెక్కించదగినది కాకపోవడం QIS యొక్క లెక్కించదగినది కాకపోవడాన్ని సూచిస్తుంది.


We use the following technical result: Lemma 11.15.

మేము ఈ క్రింది సాంకేతిక ఫలితాన్ని ఉపయోగిస్తాము: లెమ్మా 11.15.


అంకెల శ్రేణి ఉంది.


We fix C to be a sufficiently large constant.

మేము Cని తగినంత పెద్ద స్థిరంగా ఉంచుతాము.


PSEQ(p, i) యొక్క నిర్వచనం సులభం.


We leave it to the reader to verify that PSEQ(p, i) is true.

PSEQ(p, i) నిజమని ధృవీకరించడానికి మేము పాఠకుడికి వదిలివేస్తాము.


To sum up, we have shown that for every quantified mixed statement.

మొత్తానికి, ప్రతి గుణాత్మక మిశ్రమ ప్రకటన కోసం మేము చూపించాము.


The algorithm efficiently solves the problem.

అల్గారిథం సమర్థవంతంగా సమస్యను పరిష్కరిస్తుంది.


Solving linear equations is a fundamental task.

లీనియర్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం ఒక ప్రాథమిక పని.


The determinant of a matrix is an important concept in linear algebra.

ఒక మాతృక యొక్క నిర్ధారకం రేఖీయ బీజగణితంలో ఒక ముఖ్యమైన భావన.


మనం ఒక సమర్థవంతమైన అల్గారిథమ్‌ను కనుగొనాలి.


సమస్య గణనపరంగా కష్టం.


Can you explain the concept of NP completeness?

NP సంపూర్ణత భావనను మీరు వివరించగలరా?


The algorithm's running time is polynomial.

అల్గారిథం యొక్క రన్నింగ్ సమయం బహుపది.


Integer programming is known to be computationally difficult.

పూర్ణాంక ప్రోగ్రామింగ్ గణనపరంగా కష్టమని తెలుసు.


The difference between two and three can be significant in complexity.

రెండు మరియు మూడు మధ్య వ్యత్యాసం సంక్లిష్టతలో గణనీయంగా ఉంటుంది.


Gaussian elimination is a standard method.

గౌసియన్ తొలగింపు ఒక ప్రామాణిక పద్ధతి.


The determinant helps determine if a matrix is invertible.

ఒక మాతృక విలోమం చేయగలదా లేదా అని నిర్ధారించడానికి నిర్ధారకం సహాయపడుతుంది.


The permanent of a matrix is related to combinatorics.

ఒక మాతృక యొక్క స్థిరత్వం కలయికలతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది.


Finding a Nash equilibrium is a complex problem.

నాష్ సమతౌల్యాన్ని కనుగొనడం ఒక సంక్లిష్టమైన సమస్య.


ప్రధాన సంఖ్య పరీక్షకు సుదీర్ఘ చరిత్ర ఉంది.


అల్గారిథం బహుపది సమయంలో నడుస్తుంది.


The difference between exponential and polynomial time is crucial.

ఘాతాంక మరియు బహుపది సమయం మధ్య వ్యత్యాసం చాలా ముఖ్యం.


We are exploring efficient computation methods.

మేము సమర్థవంతమైన గణన పద్ధతులను అన్వేషిస్తున్నాము.


The problem of integer factoring is challenging.

పూర్ణాంక కారకం యొక్క సమస్య సవాలుగా ఉంది.


Understanding the time complexity is essential.

సమయ సంక్లిష్టతను అర్థం చేసుకోవడం చాలా అవసరం.


మిన్-మాక్స్ సిద్ధాంతం ఒక ముఖ్యమైన ఫలితం.


Turing machines are a fundamental concept in computer science.

ట్యూరింగ్ యంత్రాలు కంప్యూటర్ సైన్స్ లో ఒక ప్రాథమిక భావన.


The extended Church-Turing thesis is a statement about the limits of computation.

విస్తరించిన చర్చ్-ట్యూరింగ్ సిద్ధాంతం గణన యొక్క పరిమితుల గురించి ఒక ప్రకటన.


Polynomial time is a crucial concept in understanding algorithm efficiency.

అల్గారిథం సామర్థ్యాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి పాలీనోమియల్ సమయం ఒక ముఖ్యమైన భావన.


Exponential time complexity often makes problems intractable.

ఎక్స్పోనెన్షియల్ టైమ్ కాంప్లెక్సిటీ తరచుగా సమస్యలను పరిష్కరించడం కష్టతరం చేస్తుంది.


RAM machines are a more practical model of computation than Turing machines.

RAM యంత్రాలు ట్యూరింగ్ యంత్రాల కంటే గణన యొక్క మరింత ఆచరణాత్మక నమూనా.


The difference between polynomial and exponential time is significant.

పాలీనోమియల్ మరియు ఎక్స్పోనెన్షియల్ సమయం మధ్య వ్యత్యాసం చాలా ముఖ్యమైనది.


Understanding time complexity is essential for algorithm design.

అల్గారిథం రూపకల్పనకు సమయ సంక్లిష్టతను అర్థం చేసుకోవడం చాలా అవసరం.


Turing machines can simulate RAM machines with polynomial overhead.

ట్యూరింగ్ యంత్రాలు పాలీనోమియల్ ఓవర్ హెడ్‌తో RAM యంత్రాలను అనుకరించగలవు.


The concept of computability explores what problems can be solved.

గణన యొక్క భావన ఏ సమస్యలను పరిష్కరించవచ్చో అన్వేషిస్తుంది.


The halting problem is a classic example of an undecidable problem.

హాల్టింగ్ సమస్య అనేది పరిష్కరించలేని సమస్యకు ఒక క్లాసిక్ ఉదాహరణ.


Efficient algorithms are crucial for solving large-scale problems.

పెద్ద-స్థాయి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సమర్థవంతమైన అల్గారిథమ్‌లు చాలా అవసరం.


The extended Church-Turing thesis is still a subject of debate.

విస్తరించిన చర్చ్-ట్యూరింగ్ సిద్ధాంతం ఇప్పటికీ చర్చనీయాంశంగా ఉంది.


Quantum computers may challenge the extended Church-Turing thesis.

క్వాంటం కంప్యూటర్లు విస్తరించిన చర్చ్-ట్యూరింగ్ సిద్ధాంతానికి సవాలు విసరవచ్చు.


NAND-RAM programs are often used to model real-world computation.

NAND-RAM ప్రోగ్రామ్‌లు తరచుగా వాస్తవ-ప్రపంచ గణనను నమూనా చేయడానికి ఉపయోగించబడతాయి.


The efficiency of an algorithm is measured by its time complexity.

ఒక అల్గారిథం యొక్క సామర్థ్యాన్ని దాని సమయ సంక్లిష్టత ద్వారా కొలుస్తారు.


A universal Turing machine can simulate any other Turing machine.

ఒక సార్వత్రిక ట్యూరింగ్ యంత్రం ఏదైనా ఇతర ట్యూరింగ్ యంత్రాన్ని అనుకరించగలదు.