The P versus NP problem is one of the most important unsolved problems in computer science.

P వర్సెస్ NP సమస్య కంప్యూటర్ సైన్స్ లో అత్యంత ముఖ్యమైన పరిష్కరించని సమస్యలలో ఒకటి.


The choice of computational model can affect the analysis of efficiency.

గణన నమూనాను ఎంచుకోవడం సామర్థ్యం యొక్క విశ్లేషణను ప్రభావితం చేస్తుంది.


Understanding the limitations of computation is crucial for computer scientists.

గణన యొక్క పరిమితులను అర్థం చేసుకోవడం కంప్యూటర్ శాస్త్రవేత్తలకు చాలా అవసరం.


The study of time complexity helps us design better algorithms.

సమయ సంక్లిష్టత అధ్యయనం మెరుగైన అల్గారిథమ్‌లను రూపొందించడానికి సహాయపడుతుంది.


ఈ రోజు సూర్యుడు ప్రకాశవంతంగా ప్రకాశిస్తున్నాడు.


దయచేసి నాకు ఉప్పు ఇవ్వగలరా?


I am going to the market to buy some vegetables.

నేను కూరగాయలు కొనడానికి మార్కెట్‌కి వెళ్తున్నాను.


The weather forecast predicts rain for tomorrow.

రేపు వర్షం పడుతుందని వాతావరణ సూచన చెబుతోంది.


ఆమె చాలా ప్రతిభావంతురాలైన సంగీత విద్వాంసురాలు.


The company announced its quarterly earnings.

కంపెనీ తన త్రైమాసిక ఆదాయాన్ని ప్రకటించింది.


The algorithm efficiently sorts the data.

అల్గారిథం డేటాను సమర్ధవంతంగా క్రమబద్ధీకరిస్తుంది.


అతను తన తుది పరీక్షల కోసం చదువుతున్నాడు.


The government is implementing new policies.

ప్రభుత్వం కొత్త విధానాలను అమలు చేస్తోంది.


The research team made a significant discovery.

పరిశోధనా బృందం ఒక ముఖ్యమైన ఆవిష్కరణ చేసింది.


Despite the challenges, they persevered.

సవాళ్లు ఎదురైనా, వారు పట్టుదలతో ఉన్నారు.


The complex system requires careful analysis.

సంక్లిష్టమైన వ్యవస్థకు జాగ్రత్తగా విశ్లేషణ అవసరం.


The philosophical debate continued for hours.

తత్వశాస్త్ర చర్చ గంటల తరబడి కొనసాగింది.


The economic downturn affected many industries.

ఆర్థిక మాంద్యం అనేక పరిశ్రమలను ప్రభావితం చేసింది.


The implications of the theory are far-reaching.

సిద్ధాంతం యొక్క చిక్కులు చాలా దూరం వరకు ఉన్నాయి.


The artist's work is characterized by vibrant colors.

కళాకారుడి పని ఉత్సాహభరితమైన రంగులతో వర్గీకరించబడింది.


న్యాయమూర్తి ఒక నిర్ణయాత్మక తీర్పును ఇచ్చారు.


The company is undergoing a major restructuring.

కంపెనీ పెద్ద పునర్నిర్మాణానికి గురవుతోంది.


The scientific community is debating the findings.

శాస్త్రీయ సమాజం ఈ ఫలితాలపై చర్చిస్తోంది.


The historical context is crucial for understanding.

అర్థం చేసుకోవడానికి చారిత్రక సందర్భం చాలా ముఖ్యం.


Graphs are so ubiquitous in computer science and other sciences because they can be used to model a great many of the data that we encounter.

కంప్యూటర్ సైన్స్ మరియు ఇతర శాస్త్రాలలో గ్రాఫ్‌లు చాలా సర్వసాధారణంగా ఉన్నాయి, ఎందుకంటే మనం ఎదుర్కొనే అనేక డేటాను మోడల్ చేయడానికి వాటిని ఉపయోగించవచ్చు.


In this chapter we discuss several examples of important computational problems.

ఈ అధ్యాయంలో, మేము ముఖ్యమైన గణన సమస్యలకు సంబంధించిన అనేక ఉదాహరణలను చర్చిస్తాము.


The shortest path problem is the task of finding, given a graph G = (V, E) and two vertices s, t ∈ V, the length of the shortest path between s and t.

అతి చిన్న మార్గం సమస్య అనేది గ్రాఫ్ G = (V, E) మరియు రెండు శీర్షాలు s, t ∈ V ఇచ్చినప్పుడు, s మరియు t మధ్య అతి చిన్న మార్గం యొక్క పొడవును కనుగొనే పని.


If each vertex has at least two neighbors then there can be an exponential number of paths from s to t, but fortunately we do not have to enumerate them all to find the shortest path.

ప్రతి శీర్షానికి కనీసం ఇద్దరు పొరుగువారు ఉంటే, s నుండి t వరకు ఘాతాంక సంఖ్యలో మార్గాలు ఉండవచ్చు, కానీ అదృష్టవశాత్తూ, అతి చిన్న మార్గాన్ని కనుగొనడానికి మనం వాటన్నింటినీ లెక్కించాల్సిన అవసరం లేదు.


We can find the shortest path using a breadth first search (BFS), enumerating s’s neighbors, and then neighbors’ neighbors, etc.. in order.

వెడల్పు మొదటి శోధన (BFS)ని ఉపయోగించి, s యొక్క పొరుగువారిని మరియు తరువాత పొరుగువారి యొక్క పొరుగువారిని మొదలైన వాటిని లెక్కించడం ద్వారా మనం అతి చిన్న మార్గాన్ని కనుగొనవచ్చు.


Dijkstra’s algorithm is a well-known generalization of BFS to weighted graphs.

డైక్‌స్ట్రాస్ అల్గారిథం అనేది బరువున్న గ్రాఫ్‌లకు BFS యొక్క బాగా తెలిసిన సాధారణీకరణ.


Data structures are extremely important in computer science.

డేటా నిర్మాణాలు కంప్యూటర్ సైన్స్‌లో చాలా ముఖ్యమైనవి.


For example, if we store n items in a list, we will need a linear (i.e., O(n) time) scan to retrieve an element.

ఉదాహరణకు, మనం జాబితాలో n అంశాలను నిల్వ చేస్తే, ఒక మూలకాన్ని తిరిగి పొందడానికి మనకు లీనియర్ (అంటే, O(n) సమయం) స్కాన్ అవసరం.


The longest path problem is the task of finding the length of the longest simple (i.e., non-intersecting) path between a given pair of vertices s and t in a given graph G.

అతి పొడవైన మార్గం సమస్య అనేది ఇచ్చిన గ్రాఫ్ Gలో ఇచ్చిన శీర్షాల జత s మరియు t మధ్య అతి పొడవైన సాధారణ (అంటే, ఒకదానితో ఒకటి కలవని) మార్గం యొక్క పొడవును కనుగొనే పని.


Graphs can also denote correlations in data.

గ్రాఫ్‌లు డేటాలో పరస్పర సంబంధాలను కూడా సూచిస్తాయి.


Finding the longest path is a generalization of the famous Hamiltonian path problem.

అతి పొడవైన మార్గాన్ని కనుగొనడం ప్రసిద్ధ హామిల్టోనియన్ మార్గం సమస్య యొక్క సాధారణీకరణ.


TSP is a classical optimization problem.

TSP ఒక క్లాసికల్ ఆప్టిమైజేషన్ సమస్య.


The minimum cut problem is the task of finding, given s and t, the minimum number k such that there is an s,t cut cutting k edges.

కనిష్ట కోత సమస్య అనేది s మరియు t ఇచ్చినప్పుడు, k అంచులని కత్తిరించే s,t కోత ఉన్న కనీస సంఖ్య kని కనుగొనే పని.


Computing minimum s,t cuts is useful in many applications since minimum cuts often correspond to bottlenecks.

కనిష్ట కోతలు తరచుగా అడ్డంకులకు అనుగుణంగా ఉండటం వలన, అనేక అనువర్తనాల్లో కనిష్ట s,t కోతలను గణించడం ఉపయోగపడుతుంది.


We can obtain a polynomial-time algorithm for computing MINCUT using the Max-Flow Min-Cut Theorem.

గరిష్ట-ప్రవాహ కనిష్ట-కోత సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి MINCUTని గణించడానికి మనం పాలీనోమియల్-సమయ అల్గారిథమ్‌ను పొందవచ్చు.


The maximum flow problem can be thought of as the task of maximizing ∑ e∋s xe over all the vectors x ∈ ℝm that satisfy the above conditions.

గరిష్ట ప్రవాహ సమస్యను పై షరతులకు అనుగుణంగా ఉండే అన్ని వెక్టర్లు x ∈ ℝm పై ∑ e∋s xeని పెంచే పనిగా భావించవచ్చు.


Maximizing a linear function ℓ(x) over the set of x ∈ ℝm that satisfy certain linear equalities and inequalities is known as linear programming.

కొన్ని లీనియర్ సమానత్వాలు మరియు అసమానతలను సంతృప్తిపరిచే x ∈ ℝm సమితిపై లీనియర్ ఫంక్షన్ ℓ(x)ని పెంచడాన్ని లీనియర్ ప్రోగ్రామింగ్ అంటారు.


Given a graph G = (V, E), a cut of G is a subset S ⊆ V such that S is neither empty nor is it all of V.

గ్రాఫ్ G = (V, E) ఇచ్చినప్పుడు, G యొక్క కోత అనేది S ⊆ V ఉపసమితి, అలాంటి S ఖాళీగా ఉండకూడదు లేదా V అంతా ఉండకూడదు.


The maximum cut problem is the task of finding, given an input graph G = (V, E), the subset S ⊆ V that maximizes the number of edges cut by S.

గరిష్ట కోత సమస్య అనేది, ఇన్పుట్ గ్రాఫ్ G = (V, E) ఇచ్చినప్పుడు, S ద్వారా కత్తిరించబడిన అంచుల సంఖ్యను పెంచే S ⊆ V ఉపసమితిని కనుగొనే పని.


The satisfiability problem is the task of determining, given a CNF formula φ, whether or not there exists a satisfying assignment for φ.

సంతృప్తి సమస్య అనేది, CNF ఫార్ములా φ ఇచ్చినప్పుడు, φ కోసం సంతృప్తికరమైన అసైన్‌మెంట్ ఉందో లేదో నిర్ణయించే పని.


The algorithm efficiently sorts the data.

అల్గారిథం డేటాను సమర్థవంతంగా క్రమబద్ధీకరిస్తుంది.


She enjoys reading novels in her free time.

ఆమె ఖాళీ సమయంలో నవలలు చదవడానికి ఇష్టపడుతుంది.


The company announced a new product launch.

కంపెనీ కొత్త ఉత్పత్తిని ప్రారంభించినట్లు ప్రకటించింది.


Could you please repeat that information?

దయచేసి ఆ సమాచారాన్ని మళ్ళీ చెప్పగలరా?


The research paper explores complex topics.

పరిశోధనా పత్రం సంక్లిష్టమైన అంశాలను అన్వేషిస్తుంది.


He is a highly skilled software engineer.

అతను అత్యంత నైపుణ్యం కలిగిన సాఫ్ట్‌వేర్ ఇంజనీర్.


The weather forecast predicts heavy rain tomorrow.

రేపు భారీ వర్షాలు కురుస్తాయని వాతావరణ సూచన చెబుతోంది.


ఆమె పియానో వాయించడం నేర్చుకుంటోంది.


The government implemented new policies.

ప్రభుత్వం కొత్త విధానాలను అమలు చేసింది.


The project requires careful planning and execution.

ప్రాజెక్ట్ జాగ్రత్తగా ప్రణాళిక మరియు అమలును కోరుతుంది.


The economic situation is improving gradually.

ఆర్థిక పరిస్థితి క్రమంగా మెరుగుపడుతోంది.


He is passionate about environmental conservation.

పర్యావరణ పరిరక్షణపై ఆయనకు మక్కువ ఉంది.


The team achieved significant milestones this year.

ఈ సంవత్సరం జట్టు గణనీయమైన మైలురాళ్లను సాధించింది.


The data analysis revealed interesting insights.

డేటా విశ్లేషణ ఆసక్తికరమైన విషయాలను వెల్లడించింది.


She is a talented artist with a unique style.

ఆమె ప్రత్యేకమైన శైలితో కూడిన ప్రతిభావంతుడైన కళాకారిణి.


The conference brought together experts from various fields.

సమావేశం వివిధ రంగాల నిపుణులను ఒకచోట చేర్చింది.


The complex equation requires advanced mathematical techniques.

సంక్లిష్ట సమీకరణానికి అధునాతన గణిత పద్ధతులు అవసరం.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

సవాళ్లు ఎదురైనా, వారు పట్టుదలతో విజయం సాధించారు.


The implications of the new discovery are far-reaching.

కొత్త ఆవిష్కరణ యొక్క పరిణామాలు చాలా దూరం వరకు ఉన్నాయి.


The philosophical debate explored the nature of consciousness.

తత్వ చర్చ స్పృహ స్వభావాన్ని అన్వేషించింది.


The algorithm efficiently computes the function F(x).

అల్గారిథం F(x) ఫంక్షన్‌ను సమర్థవంతంగా లెక్కిస్తుంది.


Reductions are used to relate the computational complexity of problems.

సమస్యల గణన సంక్లిష్టతను పరస్పరం సంబంధించడానికి తగ్గింపులు ఉపయోగించబడతాయి.


Solving 3SAT efficiently would result in an efficient algorithm for other problems.

3SATని సమర్థవంతంగా పరిష్కరించడం వలన ఇతర సమస్యలకు సమర్థవంతమైన అల్గారిథం ఏర్పడుతుంది.


Transitivity is a key property of polynomial-time reductions.

బహుపది-సమయ తగ్గింపులకు ట్రాన్సిటివిటీ ఒక ముఖ్యమైన లక్షణం.


ఈ సమీకరణాలను Ax = b వలె వ్రాయవచ్చు.


The function R1(x) is computable in time |x|^c.

R1(x) ఫంక్షన్ |x|^c సమయంలో గణించబడుతుంది.


We will reduce 3SAT to zero one and quadratic equations.

మేము 3SATని సున్నా ఒకటి మరియు చతురస్రాకార సమీకరణాలకు తగ్గిస్తాము.


The input is a collection of linear equations.

ఇన్‌పుట్ అనేది సరళ సమీకరణాల సమాహారం.


The output is 1 if there is an assignment that satisfies all equations.

అన్ని సమీకరణాలను సంతృప్తిపరిచే కేటాయింపు ఉంటే అవుట్‌పుట్ 1.


For example, if the input E is a string encoding the set of equations.

ఉదాహరణకు, ఇన్‌పుట్ E అనేది సమీకరణాల సమితిని ఎన్‌కోడ్ చేసే స్ట్రింగ్ అయితే.


There is no known efficient algorithm to solve 01EQ.

01EQని పరిష్కరించడానికి తెలిసిన సమర్థవంతమైన అల్గారిథం లేదు.


A constraint can be written as x2 + (1 - x5) + x7 >= 1.

ఒక నియంత్రణను x2 + (1 - x5) + x7 >= 1 వలె వ్రాయవచ్చు.


We add auxiliary variables to replace an equation.

ఒక సమీకరణాన్ని భర్తీ చేయడానికి మేము సహాయక చరరాశులను జోడిస్తాము.


అల్గారిథం బహుపది సమయంలో నడుస్తుంది.


మేము రుజువును రెండు భాగాలుగా విభజిస్తాము.


Suppose that 3SAT(phi) = 1, which means that there is an assignment x.

3SAT(phi) = 1 అని అనుకుందాం, అంటే కేటాయింపు x ఉందని అర్థం.


The equations are over variables x0, ..., xn-1 in {0,1}.

సమీకరణాలు {0,1}లో x0, ..., xn-1 చరరాశులపై ఉన్నాయి.


We can use non-linearity to force continuous variables to be discrete.

నిరంతర చరరాశులను వివిక్త చేయడానికి మనం నాన్-లీనియారిటీని ఉపయోగించవచ్చు.


The subset sum problem is also known as the knapsack problem.

సబ్‌సెట్ సమ్ సమస్యను నాప్‌సాక్ సమస్య అని కూడా పిలుస్తారు.


The key insight is that we can think of vectors as numbers.

కీలకమైన అంతర్దృష్టి ఏమిటంటే, మనం వెక్టర్లను సంఖ్యలుగా భావించవచ్చు.


ఈ రోజు వాతావరణం ఆహ్లాదకరంగా ఉంది.


I am going to the market to buy some vegetables.

నేను కూరగాయలు కొనడానికి మార్కెట్‌కు వెళ్తున్నాను.


దయచేసి తలుపు మూయండి.


The company announced a new product launch.

కంపెనీ కొత్త ఉత్పత్తిని ప్రారంభించినట్లు ప్రకటించింది.


The government is implementing new policies to boost the economy.

ఆర్థిక వ్యవస్థను ప్రోత్సహించడానికి ప్రభుత్వం కొత్త విధానాలను అమలు చేస్తోంది.


విశ్రాంతి తీసుకోవాలని డాక్టర్ నాకు సలహా ఇచ్చారు.


Could you please help me with this problem?

దయచేసి ఈ సమస్యలో నాకు సహాయం చేయగలరా?


The research team is working on a new vaccine.

పరిశోధనా బృందం కొత్త టీకాపై పనిచేస్తోంది.


The meeting will be held tomorrow at 10 AM.

రేపు ఉదయం 10 గంటలకు సమావేశం జరుగుతుంది.


The price of petrol has increased significantly.

పెట్రోల్ ధర బాగా పెరిగింది.


The algorithm efficiently sorts the data.

అల్గారిథం డేటాను సమర్ధవంతంగా క్రమబద్ధీకరిస్తుంది.


సవాళ్లు ఎదురైనా, వారు విజయం సాధించారు.


The company's profits increased by 20% this quarter.

ఈ త్రైమాసికంలో కంపెనీ లాభాలు 20% పెరిగాయి.


The complex system requires careful analysis.

సంక్లిష్టమైన వ్యవస్థకు జాగ్రత్తగా విశ్లేషణ అవసరం.


The implications of the new law are far-reaching.

కొత్త చట్టం యొక్క పరిణామాలు చాలా దూరం వరకు ఉంటాయి.


The philosophical debate explored the nature of reality.

తత్వశాస్త్ర చర్చ వాస్తవికత స్వభావాన్ని పరిశోధించింది.


The intricate design of the building is impressive.

భవనం యొక్క సంక్లిష్టమైన రూపకల్పన ఆకట్టుకుంటుంది.


The economic downturn affected many industries.

ఆర్థిక మాంద్యం అనేక పరిశ్రమలను ప్రభావితం చేసింది.


The scientist presented a groundbreaking discovery.

శాస్త్రవేత్త ఒక సంచలనాత్మక ఆవిష్కరణను సమర్పించారు.


The committee deliberated on the proposal for hours.

కమిటీ ప్రతిపాదనపై గంటల తరబడి చర్చించింది.


We can make the loop corresponding to the variables long enough so that we must take the entire path in each loop.

చరరాశులకు సంబంధించిన లూప్ చాలా పొడవుగా చేయవచ్చు, తద్వారా ప్రతి లూప్‌లో మొత్తం మార్గాన్ని తీసుకోవాలి.


But if we do that, then the only way if we are able to reach t is if the paths we took corresponded to a satisfying assignment.

కానీ మనం అలా చేస్తే, మనం tని చేరుకోగలిగే ఏకైక మార్గం ఏమిటంటే, మనం తీసుకున్న మార్గాలు సంతృప్తికరమైన కేటాయింపుకు అనుగుణంగా ఉండాలి.


We have shown that there are a number of functions F for which we can prove a statement of the form “If F ∈ P then 3SAT ∈ P”.

“F ∈ P అయితే 3SAT ∈ P” అనే రూపంలో ఒక ప్రకటనను మనం నిరూపించగల అనేక ఫంక్షన్లు F ఉన్నాయని మేము చూపించాము.


Hence coming up with a polynomial-time algorithm for even one of these problems will entail a polynomial-time algorithm for 3SAT.

అందువల్ల, ఈ సమస్యలలో ఒకదానికి కూడా పాలీనోమియల్-సమయం అల్గారిథమ్‌ను రూపొందించడం 3SAT కోసం పాలీనోమియల్-సమయం అల్గారిథమ్‌ను కలిగి ఉంటుంది.


In Chapter 15 we will show the inverse direction (“If 3SAT ∈ P then F ∈ P”) for these functions.

అధ్యాయం 15లో, మేము ఈ ఫంక్షన్ల కోసం వ్యతిరేక దిశను (“ఒకవేళ 3SAT ∈ P అయితే F ∈ P”) చూపుతాము.


The computational complexity of many seemingly unrelated computational problems can be related to one another through the use of reductions.

అనేక సంబంధం లేని కంప్యూటేషనల్ సమస్యల గణన సంక్లిష్టతను తగ్గింపుల ద్వారా ఒకదానితో ఒకటి సంబంధం కలిగి ఉంటుంది.


If F ≤ p G then a polynomial-time algorithm for G can be transformed into a polynomial-time algorithm for F.

F ≤ p G అయితే, G కోసం పాలీనోమియల్-సమయం అల్గారిథమ్‌ను F కోసం పాలీనోమియల్-సమయం అల్గారిథమ్‌గా మార్చవచ్చు.


Equivalently, if F ≤ p G and F does not have a polynomial-time algorithm then neither does G.

అదేవిధంగా, F ≤ p G మరియు Fకి పాలీనోమియల్-సమయం అల్గారిథమ్ లేకపోతే, Gకి కూడా ఉండదు.


We’ve developed many techniques to show that 3SAT ≤ p F for interesting functions F.

ఆసక్తికరమైన ఫంక్షన్ల F కోసం 3SAT ≤ p F అని చూపించడానికి మేము అనేక పద్ధతులను అభివృద్ధి చేసాము.


Sometimes we can do so by using transitivity of reductions: if 3SAT ≤ p G and G ≤ p F then 3SAT ≤ p F.

కొన్నిసార్లు మనం తగ్గింపుల యొక్క ట్రాన్సిటివిటీని ఉపయోగించడం ద్వారా అలా చేయవచ్చు: 3SAT ≤ p G మరియు G ≤ p F అయితే 3SAT ≤ p F.


The notion defined in Definition 14.1 is often known as a mapping reduction, many to one reduction or a Karp reduction.

నిర్వచనం 14.1లో నిర్వచించబడిన భావనను తరచుగా మ్యాపింగ్ తగ్గింపు, ఒకటి నుండి అనేక తగ్గింపు లేదా కార్ప్ తగ్గింపు అని పిలుస్తారు.


Unlike finding a maximum independent set, finding a maximal independent set can be done efficiently by a greedy algorithm.

గరిష్ట స్వతంత్ర సెట్‌ను కనుగొనడం వలె కాకుండా, గరిష్ట స్వతంత్ర సెట్‌ను కనుగొనడం ఒక అత్యాశ అల్గారిథమ్ ద్వారా సమర్థవంతంగా చేయవచ్చు.


We have mentioned that the line between reductions used for algorithm design and showing hardness is sometimes blurry.

అల్గారిథమ్ డిజైన్ కోసం ఉపయోగించే తగ్గింపులు మరియు కాఠిన్యాన్ని చూపించడం మధ్య రేఖ కొన్నిసార్లు అస్పష్టంగా ఉంటుందని మేము పేర్కొన్నాము.


In this field people use algorithms for SAT (that take exponential time in the worst case but often are much faster on many instances in practice) together with reductions of the form F ≤ p SAT to derive algorithms for other functions F of interest.

ఈ రంగంలో ప్రజలు SAT కోసం అల్గారిథమ్‌లను ఉపయోగిస్తారు (ఇది అధ్వాన్నమైన సందర్భంలో ఘాతాంక సమయం తీసుకుంటుంది, కానీ ఆచరణలో చాలా సందర్భాల్లో చాలా వేగంగా ఉంటుంది) ఆసక్తిగల ఇతర ఫంక్షన్ల F కోసం అల్గారిథమ్‌లను పొందడానికి F ≤ p SAT రూపంలో తగ్గింపులతో పాటు.


So far we have shown that 3SAT is no harder than Quadratic Equations, Independent Set, Maximum Cut, and Longest Path.

ఇప్పటివరకు, 3SAT క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాలు, స్వతంత్ర సెట్, గరిష్ట కట్ మరియు పొడవైన మార్గం కంటే కష్టతరమైనది కాదని మేము చూపించాము.


But to show that these problems are computationally equivalent we need to give reductions in the other direction, reducing each one of these problems to 3SAT as well.

కానీ ఈ సమస్యలు గణనపరంగా సమానమని చూపించడానికి, మనం ఇతర దిశలో తగ్గింపులను ఇవ్వాలి, ఈ సమస్యలలో ప్రతి ఒక్కటి కూడా 3SATకి తగ్గించాలి.


All of the problems we discussed in Chapter 14, and a great many other problems, share the same commonality: they are all search problems.

అధ్యాయం 14లో మనం చర్చించిన అన్ని సమస్యలు మరియు అనేక ఇతర సమస్యలు ఒకే సాధారణతను కలిగి ఉన్నాయి: అవన్నీ శోధన సమస్యలు.


In this chapter we will see the definition of the complexity class NP - one of the most important definitions in this book, and the Cook-Levin Theorem - one of the most important theorems in it.

ఈ అధ్యాయంలో మనం సంక్లిష్టత తరగతి NP యొక్క నిర్వచనాన్ని చూస్తాము - ఈ పుస్తకంలోని అత్యంత ముఖ్యమైన నిర్వచనాలలో ఒకటి, మరియు కుక్-లెవిన్ సిద్ధాంతం - దానిలోని అత్యంత ముఖ్యమైన సిద్ధాంతాలలో ఒకటి.


Intuitively, the class NP corresponds to the class of problems where it is easy to verify a solution.

అంతర్బుద్ధిగా, NP తరగతి ఒక పరిష్కారాన్ని ధృవీకరించడం సులభం అయిన సమస్యల తరగతికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.


It is an outstanding open question whether or not all functions in NP have a polynomial-time algorithm, or in other words (to use just a little bit of math) whether or not P=NP.

NPలోని అన్ని ఫంక్షన్లకు పాలీనోమియల్-సమయం అల్గారిథమ్ ఉందా లేదా అనేది ఒక అద్భుతమైన బహిరంగ ప్రశ్న, లేదా ఇతర మాటలలో (కొంచెం గణితాన్ని ఉపయోగించడానికి) P=NPనా కాదా.


Yet not a single polynomial-time algorithm for any of them has been found, supports that conjecture that indeed P ≠ NP.

అయినప్పటికీ, వాటిలో దేనికీ ఒక్క పాలీనోమియల్-సమయ అల్గారిథం కూడా కనుగొనబడలేదు, ఇది నిజంగా P ≠ NP అనే ఊహాగానానికి మద్దతు ఇస్తుంది.


In fact, for many of these problems (including all the ones we mentioned above), we don’t even know of a 2^(n) -time algorithm!

వాస్తవానికి, ఈ సమస్యలలో చాలా వాటికి (పైన పేర్కొన్నవన్నీ సహా), మనకు 2^(n) -సమయ అల్గారిథం కూడా తెలుసు!


However, to the frustration of computer scientists, we have not yet been able to prove that P ≠ NP or even rule out the existence of an O(n)-time algorithm for 3SAT.

అయితే, కంప్యూటర్ శాస్త్రవేత్తలకు నిరాశ కలిగించే విషయం ఏమిటంటే, మేము ఇంకా P ≠ NP అని నిరూపించలేకపోయాము లేదా 3SAT కోసం O(n)-సమయ అల్గారిథం ఉనికిని కూడా తోసిపుచ్చలేకపోయాము.


Resolving whether or not P = NP is known as the P vs NP problem.

P = NP అవునా కాదా అని పరిష్కరించడం P vs NP సమస్యగా పిలువబడుతుంది.


A million-dollar prize has been offered for the solution of this problem, a popular book has been written, and every year a new paper comes out claiming a proof of P=NP or P≠NP, only to wither under scrutiny.

ఈ సమస్య యొక్క పరిష్కారం కోసం ఒక మిలియన్ డాలర్ల బహుమతిని అందించారు, ఒక ప్రసిద్ధ పుస్తకం వ్రాయబడింది మరియు ప్రతి సంవత్సరం P=NP లేదా P≠NP యొక్క రుజువును క్లెయిమ్ చేస్తూ ఒక కొత్త పేపర్ వస్తుంది, ఇది పరిశీలనలో క్షీణిస్తుంది.


One of the mysteries of computation is that people have observed a certain empirical “zero-one law” or “dichotomy” in the computational complexity of natural problems, in the sense that many natural problems are either in P (often in TIME(O(n)) or TIME(O(n^2))), or they are NP-hard.

గణన యొక్క రహస్యాలలో ఒకటి ఏమిటంటే, సహజ సమస్యల గణన సంక్లిష్టతలో ప్రజలు ఒక నిర్దిష్ట అనుభావిక “సున్నా-ఒకటి చట్టం” లేదా “ద్వైతత్వం”ని గమనించారు, చాలా సహజ సమస్యలు Pలో ఉన్నాయి (తరచుగా TIME(O(n)) లేదా TIME(O(n^2))లో) లేదా అవి NP-కఠినమైనవి.


This is related to the fact that for most natural problems, the best known algorithm is either exponential or polynomial, with not too many examples where the best running time is some strange intermediate complexity such as 2^(2√log n).

ఇది చాలా సహజ సమస్యలకు, తెలిసిన ఉత్తమ అల్గారిథం ఎక్స్పోనెన్షియల్ లేదా పాలీనోమియల్ అనే వాస్తవానికి సంబంధించినది, ఉత్తమ రన్నింగ్ సమయం 2^(2√log n) వంటి కొన్ని విచిత్రమైన మధ్యంతర సంక్లిష్టత కలిగిన ఎక్కువ ఉదాహరణలు లేవు.


However, it is believed that there exist problems in NP that are neither in P nor are NP-complete, and in fact a result known as “Ladner’s Theorem” shows that if P ≠ NP then this is indeed the case.

అయితే, Pలో లేని మరియు NP-పూర్తిగా లేని NPలో సమస్యలు ఉన్నాయని నమ్ముతారు మరియు వాస్తవానికి “లాడ్నర్ సిద్ధాంతం” అని పిలువబడే ఫలితం P ≠ NP అయితే ఇది నిజంగా సందర్భమని చూపిస్తుంది.


We will now prove the Cook-Levin Theorem, which is the underpinning to a great web of reductions from 3SAT to thousands of problems across many great fields.

ఇప్పుడు మనం కుక్-లెవిన్ సిద్ధాంతాన్ని నిరూపిస్తాము, ఇది 3SAT నుండి అనేక గొప్ప రంగాలలో వేలాది సమస్యలకు తగ్గింపుల యొక్క గొప్ప వెబ్‌కు ఆధారంగా ఉంది.


Some problems that have been shown to be NP-complete include: minimum-energy protein folding, minimum surface-area foam configuration, map coloring, optimal Nash equilibrium, quantum state entanglement, minimum supersequence of a genome, minimum codeword problem, shortest vector in a lattice, minimum genus knots, positive Diophantine equations, integer programming, and many many more.

NP-పూర్తిగా ఉన్నట్లు చూపబడిన కొన్ని సమస్యలు: కనిష్ట-శక్తి ప్రోటీన్ మడత, కనిష్ట ఉపరితల-వైశాల్యం నురుగు నిర్మాణం, మ్యాప్ కలరింగ్, సరైన నాష్ సమతౌల్యం, క్వాంటం స్థితి చిక్కు, జీనోమ్ యొక్క కనిష్ట సూపర్సీక్వెన్స్, కనిష్ట కోడ్‌వర్డ్ సమస్య, లాటిస్‌లో అతి చిన్న వెక్టర్, కనిష్ట జాతి ముడులు, సానుకూల డియోఫాంటైన్ సమీకరణాలు, పూర్ణాంక ప్రోగ్రామింగ్ మరియు మరెన్నో.


The worst-case complexity of all these problems is (up to polynomial factors) equivalent to that of 3SAT, and through the Cook-Levin Theorem, to all problems in NP.

ఈ సమస్యలన్నింటి యొక్క అధ్వాన్న-కేసు సంక్లిష్టత (పాలీనోమియల్ కారకాల వరకు) 3SATతో సమానంగా ఉంటుంది మరియు కుక్-లెవిన్ సిద్ధాంతం ద్వారా, NPలోని అన్ని సమస్యలకు సమానంగా ఉంటుంది.


To prove Theorem 15.6 we need to show that F ≤ p 3SAT for every F ∈ NP.

సిద్ధాంతం 15.6ని నిరూపించడానికి, ప్రతి F ∈ NP కోసం F ≤ p 3SAT అని చూపించాలి.


మేము మూడు దశల్లో చేస్తాము.


We define two intermediate problems: NANDSAT and 3NAND.

మేము రెండు మధ్యంతర సమస్యలను నిర్వచిస్తాము: NANDSAT మరియు 3NAND.


We will shortly show the definitions of these two problems, but Theorem 15.6 will follow from combining the following three results:

మేము త్వరలో ఈ రెండు సమస్యల నిర్వచనాలను చూపిస్తాము, కాని సిద్ధాంతం 15.6 కింది మూడు ఫలితాలను కలపడం ద్వారా అనుసరించబడుతుంది:


By the transitivity of reductions, it will follow that for every F ∈ NP, F ≤ p NANDSAT ≤ p 3NAND ≤ p 3SAT hence establishing Theorem 15.6.

తగ్గింపుల యొక్క సంక్రమణ ద్వారా, ప్రతి F ∈ NP కోసం, F ≤ p NANDSAT ≤ p 3NAND ≤ p 3SAT అని అనుసరిస్తుంది, తద్వారా సిద్ధాంతం 15.6ని స్థాపించింది.


We will prove these three results Lemma 15.8, Lemma 15.9 and Lemma 15.10 one by one, providing the requisite definitions as we go along.

మేము ఈ మూడు ఫలితాలను లెమ్మా 15.8, లెమ్మా 15.9 మరియు లెమ్మా 15.10 ఒక్కొక్కటిగా నిరూపిస్తాము, మనం వెళ్ళేటప్పుడు అవసరమైన నిర్వచనాలను అందిస్తాము.


The chapter provides an overview of probability theory.

ఈ అధ్యాయం సంభావ్యతా సిద్ధాంతం యొక్క అవలోకనాన్ని అందిస్తుంది.


We will review some basic notions in probability theory.

మేము సంభావ్యతా సిద్ధాంతంలోని కొన్ని ప్రాథమిక భావనలను సమీక్షిస్తాము.


This is not meant to replace a course on probability theory.

ఇది సంభావ్యతా సిద్ధాంతంపై కోర్సును భర్తీ చేయడానికి ఉద్దేశించబడలేదు.


The human brain has not evolved to do probabilistic reasoning very well.

మానవ మెదడు సంభావ్య తార్కికతను బాగా చేయటానికి పరిణామం చెందలేదు.


We will be mostly interested in the setting of tossing n random coins.

మేము ఎక్కువగా n యాదృచ్ఛిక నాణేలను విసిరే విషయంలో ఆసక్తి చూపుతాము.


Each particular outcome is obtained with probability 2^-n.

ప్రతి నిర్దిష్ట ఫలితం 2^-n సంభావ్యతతో పొందబడుతుంది.


An event is simply a subset of the sample space.

ఒక సంఘటన కేవలం నమూనా స్థలం యొక్క ఉపసమితి.


The probability of the event happening being the fraction of outcomes that are in this subset.

ఈ ఉపసమితిలో ఉన్న ఫలితాల భాగం సంఘటన జరిగే సంభావ్యత.


A random variable is a way to assign some number or statistic to an outcome of the sample space.

ఒక యాదృచ్ఛిక చరరాశి అనేది నమూనా స్థలం యొక్క ఫలితానికి కొంత సంఖ్యను లేదా గణాంకాలను కేటాయించే ఒక మార్గం.


The expectation is the average of a random variable.

ఎక్స్పెక్టేషన్ అనేది యాదృచ్ఛిక చరరాశి యొక్క సగటు.


These concepts are at once both basic and subtle.

ఈ భావనలు ఒకేసారి ప్రాథమికమైనవి మరియు సూక్ష్మమైనవి.


The nature of randomness and probability is a topic of great philosophical, scientific and mathematical depth.

యాదృచ్ఛికత మరియు సంభావ్యత యొక్క స్వభావం గొప్ప తాత్విక, శాస్త్రీయ మరియు గణిత లోతు కలిగిన అంశం.


We will not need to deal directly with these questions here.

మేము ఇక్కడ ఈ ప్రశ్నలతో నేరుగా వ్యవహరించాల్సిన అవసరం లేదు.


If we toss three coins, then we obtain each of the 8 outcomes with probability 1/8.

మేము మూడు నాణేలను విసిరితే, మేము ప్రతి 8 ఫలితాలను 1/8 సంభావ్యతతో పొందుతాము.


We can describe the experiment of tossing n coins as choosing a string uniformly at random.

n నాణేలను విసిరే ప్రయోగాన్ని యాదృచ్ఛికంగా ఒక స్ట్రింగ్‌ను ఎంచుకోవచ్చు.


The probability that x has an even number of ones is Pr[A].

x సరి సంఖ్యలో ఒకటిని కలిగి ఉండే సంభావ్యత Pr[A].


For every n > 0, Pr[the sum of xi is even] = 1/2.

ప్రతి n > 0 కోసం, Pr[xi మొత్తం సరి సంఖ్య] = 1/2.


We can also use the intersection and union operators.

మేము ఇంటర్సెక్షన్ మరియు యూనియన్ ఆపరేటర్లను కూడా ఉపయోగించవచ్చు.


If A is an event, then A corresponds to the event that A does not happen.

A ఒక సంఘటన అయితే, A జరగని సంఘటనకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.


The human mind seems not to have evolved for probabilistic reasoning.

మానవ మనస్సు సంభావ్య తార్కికత కోసం పరిణామం చెందినట్లు లేదు.


The algorithm's efficiency is a key factor in its performance.

అల్గారిథం యొక్క సామర్థ్యం దాని పనితీరుకు ఒక ముఖ్యమైన అంశం.


If P=NP, then finding solutions to complex problems would become significantly easier.

P=NP అయితే, సంక్లిష్ట సమస్యలకు పరిష్కారాలను కనుగొనడం చాలా సులభం అవుతుంది.


The chapter explores the implications of an efficient algorithm for NP-complete problems.

ఈ అధ్యాయం NP-సంపూర్ణ సమస్యలకు సమర్థవంతమైన అల్గారిథం యొక్క చిక్కులను అన్వేషిస్తుంది.


We will see that such an algorithm would imply efficient algorithms for tasks including solving search problems.

అటువంటి అల్గారిథం శోధన సమస్యలను పరిష్కరించడం వంటి పనులకు సమర్థవంతమైన అల్గారిథమ్‌లను సూచిస్తుందని మేము చూస్తాము.


It's not enough to know if a formula is satisfiable; we want to discover the actual satisfying assignment.

ఒక సూత్రం సంతృప్తికరంగా ఉందో లేదో తెలుసుకోవడం సరిపోదు; మేము అసలు సంతృప్తికరమైన అసైన్‌మెంట్‌ను కనుగొనాలనుకుంటున్నాము.


Suppose that P=NP. Then for every polynomial-time algorithm V and a, b ∈ ℕ, there is a polynomial-time algorithm FIND V.

P=NP అని అనుకుందాం. అప్పుడు ప్రతి పాలీనోమియల్-సమయం అల్గారిథం V మరియు a, b ∈ ℕ కోసం, ఒక పాలీనోమియల్-సమయం అల్గారిథం FIND V ఉంది.


This means that if P=NP, by trying all values of k we can find in polynomial time a maximum cut in any given graph.

దీనర్థం P=NP అయితే, k యొక్క అన్ని విలువలను ప్రయత్నించడం ద్వారా మనం ఏదైనా గ్రాఫ్‌లో పాలీనోమియల్ సమయంలో గరిష్ట కోతను కనుగొనవచ్చు.


The idea behind the proof of Theorem 16.1 is simple.

theorem 16.1 యొక్క రుజువు వెనుక ఉన్న ఆలోచన చాలా సులభం.


We can use a similar argument to show that if P=NP then we can find a satisfying assignment for every satisfiable 3CNF formula.

P=NP అయితే, ప్రతి సంతృప్తికరమైన 3CNF సూత్రానికి సంతృప్తికరమైన అసైన్‌మెంట్‌ను కనుగొనవచ్చని చూపించడానికి మనం ఇలాంటి వాదనను ఉపయోగించవచ్చు.


The key observation is that both 3SAT₀ and 3SAT₁ are in NP.

ముఖ్యమైన పరిశీలన ఏమిటంటే 3SAT₀ మరియు 3SAT₁ రెండూ NPలో ఉన్నాయి.


Theorem 16.1 allows us to find solutions for NP problems if P=NP, but it is not immediately clear that we can find the optimal solution.

P=NP అయితే, NP సమస్యలకు పరిష్కారాలను కనుగొనడానికి సిద్ధాంతం 16.1 మనకు అనుమతిస్తుంది, కాని మనం సరైన పరిష్కారాన్ని కనుగొనగలమని వెంటనే స్పష్టంగా లేదు.


Can you find the longest simple path in G in polynomial time?

మీరు G లోని పొడవైన సాధారణ మార్గాన్ని పాలీనోమియల్ సమయంలో కనుగొనగలరా?


The idea is simple: if P=NP then we can find out in polynomial time if an n-vertex graph G contains a simple path of length n.

ఆలోచన చాలా సులభం: P=NP అయితే, n-వెర్టెక్స్ గ్రాఫ్ G పొడవు n యొక్క సాధారణ మార్గాన్ని కలిగి ఉందో లేదో మనం పాలీనోమియల్ సమయంలో తెలుసుకోవచ్చు.


In this case the function f would be the map that on input a pair x, y outputs 0 if the pair (x, y) does not represent some graph and a simple path inside the graph respectively.

ఈ సందర్భంలో ఫంక్షన్ f అనేది ఒక జత x, y ఇన్‌పుట్‌గా తీసుకున్నప్పుడు, జత (x, y) కొన్ని గ్రాఫ్‌ను మరియు గ్రాఫ్‌లోని సాధారణ మార్గాన్ని సూచించకపోతే 0ని అవుట్‌పుట్ చేసే మ్యాప్ అవుతుంది.


If P=NP then for every string x ∈ {0,1}* and number k, we can test in poly(|x|, m) time whether there exists y such that f(x, y) ≥ k.

P=NP అయితే, ప్రతి స్ట్రింగ్ x ∈ {0,1}* మరియు సంఖ్య k కోసం, f(x, y) ≥ k ఉండేలా y ఉందో లేదో మనం poly(|x|, m) సమయంలో పరీక్షించవచ్చు.


One application for Theorem 16.3 is in solving optimization problems.

theorem 16.3 యొక్క ఒక అప్లికేషన్ ఆప్టిమైజేషన్ సమస్యలను పరిష్కరించడంలో ఉంది.


For example, the task of linear programming is to find y ∈ ℝⁿ that maximizes some linear objective.

ఉదాహరణకు, లీనియర్ ప్రోగ్రామింగ్ యొక్క పని కొన్ని లీనియర్ లక్ష్యాన్ని పెంచే y ∈ ℝⁿ ను కనుగొనడం.


However, if P=NP then Theorem 16.3 tells us that we would be able to solve all problems of this form in polynomial time.

అయితే, P=NP అయితే, ఈ రూపంలోని అన్ని సమస్యలను పాలీనోమియల్ సమయంలో పరిష్కరించగలమని theorem 16.3 మనకు చెబుతుంది.


In supervised learning we are given a list of examples x₀, x₁, ..., xₘ₋₁.

సూపర్వైజ్డ్ లెర్నింగ్‌లో మనకు x₀, x₁, ..., xₘ₋₁ ఉదాహరణల జాబితా ఇవ్వబడుతుంది.


Our goal is to come up with a hypothesis or predictor h : {0,1}ⁿ → {0,1} such that if we are given a new example x that has an (unknown to us) label y, then with high probability h will predict the label.

మన లక్ష్యం ఏమిటంటే ఒక పరికల్పన లేదా ప్రెడిక్టర్ h : {0,1}ⁿ → {0,1}తో రావాలి, తద్వారా మనకు తెలియని లేబుల్ y ఉన్న కొత్త ఉదాహరణ x ఇచ్చినట్లయితే, అధిక సంభావ్యతతో h లేబుల్‌ను అంచనా వేస్తుంది.


NAND-CIRC programs are equivalent to Boolean circuits.

NAND-CIRC ప్రోగ్రామ్‌లు బూలియన్ సర్క్యూట్‌లకు సమానం.


మీరు నేరుగా సెక్షన్ 16.4.1కి వెళ్ళవచ్చు.


Another example of a statement involving levels of quantifiers would be to check, given a chess position.

క్వాంటిఫైయర్‌ల స్థాయిలను కలిగి ఉన్న స్టేట్‌మెంట్‌కు మరొక ఉదాహరణ ఏమిటంటే, ఒక చదరంగ స్థానాన్ని పరిశీలించడం.


For example is a = 3 we would want to check if given the board position, there exists a move for White.

ఉదాహరణకు a = 3 అయితే, బోర్డ్ స్థానాన్ని బట్టి, వైట్ కోసం ఒక కదలిక ఉందో లేదో మనం తనిఖీ చేయాలనుకుంటున్నాము.


It turns out that if P=NP then we can solve these kinds of problems as well.

P=NP అయితే, మనం ఈ రకమైన సమస్యలను కూడా పరిష్కరించగలమని తేలింది.


If P=NP then for every a ∈ ℕ, polynomial p ∶ ℕ → ℕ and polynomial-time algorithm V, there is a polynomial-time algorithm SOLVE V,a.

P=NP అయితే, ప్రతి a ∈ ℕ, పాలీనోమియల్ p ∶ ℕ → ℕ మరియు పాలీనోమియల్-సమయ అల్గారిథం V కోసం, ఒక పాలీనోమియల్-సమయ అల్గారిథం SOLVE V,a ఉంది.


For the ease of notation, we assume that all the strings we quantify over have the same length.

నోటేషన్ సౌలభ్యం కోసం, మనం క్వాంటిఫై చేసే అన్ని స్ట్రింగ్‌లు ఒకే పొడవును కలిగి ఉన్నాయని మేము భావిస్తున్నాము.


Proof Idea: To understand the idea behind the proof, consider the special case where we want to decide, given x ∈ {0,1} n, whether for every y ∈ {0,1} n there exists z ∈ {0,1} n such that V(xy z) = 1.

ప్రూఫ్ ఆలోచన: రుజువు వెనుక ఉన్న ఆలోచనను అర్థం చేసుకోవడానికి, ప్రతి y ∈ {0,1} n కోసం z ∈ {0,1} n ఉందో లేదో నిర్ణయించాలనుకునే ప్రత్యేక కేసును పరిగణించండి, V(xy z) = 1.


Consider the function F such that F(xy) = 1 if there exists z ∈ {0,1} n such that V(xy z) = 1.

V(xy z) = 1 అయితే z ∈ {0,1} n ఉంటే F(xy) = 1 అయ్యే విధంగా F ఫంక్షన్‌ను పరిగణించండి.


Since V runs in polynomial-time F ∈ NP and hence if P=NP, then there is an algorithm V′ that on input x,y outputs 1 if and only if there exists z ∈ {0,1} n such that V(xy z) = 1.

V పాలీనోమియల్-సమయంలో నడుస్తున్నందున F ∈ NP మరియు అందువల్ల P=NP అయితే, x,y ఇన్‌పుట్‌పై V(xy z) = 1 అయితేనే 1ని అవుట్‌పుట్ చేసే అల్గారిథం V′ ఉంది.


Now we can see that the original statement we consider is true if and only if for every y ∈ {0,1} n, V′(xy) = 1, which means it is false if and only if the following condition (*) holds.

ఇప్పుడు మనం పరిగణించే అసలు స్టేట్‌మెంట్ ప్రతి y ∈ {0,1} n కోసం V′(xy) = 1 అయితేనే నిజమని చూడవచ్చు, అంటే కింది పరిస్థితి (*) ఉంటేనే ఇది తప్పు.


there exists some y ∈ {0,1} n such that V′(xy) = 0.

V′(xy) = 0 అయ్యే విధంగా కొన్ని y ∈ {0,1} n ఉన్నాయి.


But for every x ∈ {0,1} n, the question of whether the condition (*) is itself in NP.

కానీ ప్రతి x ∈ {0,1} n కోసం, పరిస్థితి (*) NPలో ఉందా లేదా అనే ప్రశ్న.


మేము ప్రేరణ ద్వారా సిద్ధాంతాన్ని నిరూపిస్తాము.


We assume that there is a polynomial-time algorithm SOLVE V,a−1 that can solve the problem (16.4) for a − 1 and use that to solve the problem for a.

a − 1 కోసం సమస్య (16.4)ని పరిష్కరించగల పాలీనోమియల్-సమయ అల్గారిథం SOLVE V,a−1 ఉందని మేము భావిస్తున్నాము మరియు a కోసం సమస్యను పరిష్కరించడానికి దానిని ఉపయోగిస్తాము.


For a = 1, SOLVE V,a−1(x) = 1 iff V(x) = 1 which is a polynomial-time computation since V runs in polynomial time.

a = 1 కోసం, SOLVE V,a−1(x) = 1 iff V(x) = 1, ఇది పాలీనోమియల్-సమయ గణన, ఎందుకంటే V పాలీనోమియల్ సమయంలో నడుస్తుంది.


For every x,y0, define the statement φ x,y0 to be the following.

ప్రతి x,y0 కోసం, స్టేట్‌మెంట్ φ x,y0ని ఈ విధంగా నిర్వచించండి.


By the definition of SOLVE V,a, for every x ∈ {0,1} n, our goal is that SOLVE V,a(x) = 1 if and only if there exists y0 ∈ {0,1} m such that φ x,y0 is true.

SOLVE V,a నిర్వచనం ప్రకారం, ప్రతి x ∈ {0,1} n కోసం, φ x,y0 నిజమైతేనే SOLVE V,a(x) = 1 అని మా లక్ష్యం.


The negation of φ x,y0 is the statement.

φ x,y0 యొక్క ప్రతికూలత స్టేట్‌మెంట్.


The crucial observation is that φ x,y0 is exactly a statement of the form we consider with a − 1 quantifiers instead of a, and hence by our inductive hypothesis there is some polynomial time algorithm S that on input x y0 outputs 1 if and only if φ x,y0 is true.

ముఖ్యమైన పరిశీలన ఏమిటంటే φ x,y0 అనేది మనం a బదులుగా a − 1 క్వాంటిఫైయర్‌లతో పరిగణించే రూపానికి సరిగ్గా ఒక స్టేట్‌మెంట్, మరియు అందువల్ల మన ప్రేరక పరికల్పన ద్వారా x y0 ఇన్‌పుట్‌పై φ x,y0 నిజమైతేనే 1ని అవుట్‌పుట్ చేసే కొన్ని పాలీనోమియల్ సమయ అల్గారిథం S ఉంది.


The probability of rain tomorrow is quite high.

రేపు వర్షం పడే అవకాశం చాలా ఎక్కువ.


Please submit your application before the deadline.

దయచేసి గడువులోగా మీ దరఖాస్తును సమర్పించండి.


The company announced a new product launch.

కంపెనీ కొత్త ఉత్పత్తిని ప్రారంభించినట్లు ప్రకటించింది.


అతను చాలా ప్రతిభావంతుడైన సంగీత విద్వాంసుడు.


దయచేసి మీరు అది మళ్ళీ చెప్పగలరా?


The economy is showing signs of recovery.

ఆర్థిక వ్యవస్థ కోలుకుంటున్న సూచనలు కనిపిస్తున్నాయి.


The research team is working on a new project.

పరిశోధనా బృందం ఒక కొత్త ప్రాజెక్టుపై పనిచేస్తోంది.


She is fluent in several foreign languages.

ఆమె అనేక విదేశీ భాషలలో అనర్గళంగా మాట్లాడుతుంది.


వచ్చే వారం సమావేశం జరుగుతుంది.


The government implemented new regulations.

ప్రభుత్వం కొత్త నిబంధనలను అమలు చేసింది.


The algorithm efficiently sorts the data.

అల్గారిథం డేటాను సమర్థవంతంగా క్రమబద్ధీకరిస్తుంది.


సవాళ్లు ఎదురైనా, వారు విజయం సాధించారు.


The complex equation requires careful analysis.

సంక్లిష్ట సమీకరణానికి జాగ్రత్తగా విశ్లేషణ అవసరం.


The philosophical debate explored the nature of existence.

తత్వశాస్త్ర చర్చ అస్తిత్వ స్వభావాన్ని పరిశోధించింది.


The implications of the policy are far-reaching.

విధానం యొక్క చిక్కులు చాలా దూరం వరకు ఉన్నాయి.


The scientific community is making significant advancements.

శాస్త్రీయ సమాజం గణనీయమైన పురోగతి సాధిస్తోంది.


The historical context is crucial for understanding the event.

ఘటనను అర్థం చేసుకోవడానికి చారిత్రక సందర్భం చాలా ముఖ్యం.


The company's financial performance exceeded expectations.

కంపెనీ ఆర్థిక పనితీరు అంచనాలను మించిపోయింది.


The intricate design showcased exceptional craftsmanship.

చిక్కుగా ఉన్న డిజైన్ అసాధారణమైన నైపుణ్యాన్ని ప్రదర్శించింది.


The ethical considerations surrounding artificial intelligence are complex.

కృత్రిమ మేధస్సు చుట్టూ ఉన్న నైతిక అంశాలు సంక్లిష్టంగా ఉన్నాయి.


The algorithm is designed to solve complex problems efficiently.

అల్గారిథం సంక్లిష్ట సమస్యలను సమర్థవంతంగా పరిష్కరించడానికి రూపొందించబడింది.


Randomized algorithms often provide elegant solutions.

యాదృచ్ఛిక అల్గారిథమ్‌లు తరచుగా సొగసైన పరిష్కారాలను అందిస్తాయి.


The researchers are exploring new applications of this technique.

పరిశోధకులు ఈ సాంకేతికత యొక్క కొత్త అనువర్తనాలను అన్వేషిస్తున్నారు.


Probability plays a crucial role in the analysis of these algorithms.

ఈ అల్గారిథమ్‌ల విశ్లేషణలో సంభావ్యత కీలక పాత్ర పోషిస్తుంది.


The concept of randomness is central to the design.

యాదృచ్ఛికత యొక్క భావన రూపకల్పనకు కేంద్రంగా ఉంది.


We will discuss the advantages and disadvantages of this approach.

మేము ఈ విధానం యొక్క లాభాలు మరియు నష్టాలను చర్చిస్తాము.


The results were surprising and opened up new avenues of research.

ఫలితాలు ఆశ్చర్యకరంగా ఉన్నాయి మరియు పరిశోధనకు కొత్త మార్గాలను తెరిచాయి.


The study involved a large number of participants.

ఈ అధ్యయనంలో ఎక్కువ మంది పాల్గొన్నారు.


She is reading a book about computer science.

ఆమె కంప్యూటర్ సైన్స్ గురించి ఒక పుస్తకం చదువుతోంది.


ఈ రోజు వాతావరణం చాలా ఆహ్లాదకరంగా ఉంది.


మీరు ఈ సమస్యతో నాకు సహాయం చేయగలరా?


I need to go to the market to buy some groceries.

నేను కొన్ని కిరాణా సామాగ్రి కొనడానికి మార్కెట్‌కు వెళ్లాలి.


వార్తలు ఒక పెద్ద భూకంపం గురించి తెలిపాయి.


The company announced a new product launch.

కంపెనీ ఒక కొత్త ఉత్పత్తిని ప్రారంభించినట్లు ప్రకటించింది.


The government is discussing new economic policies.

ప్రభుత్వం కొత్త ఆర్థిక విధానాలపై చర్చిస్తోంది.


The algorithm's performance was evaluated using various metrics.

అల్గారిథం యొక్క పనితీరును వివిధ కొలమానాలను ఉపయోగించి మూల్యాంకనం చేశారు.


The researchers are working on improving the efficiency of the algorithm.

పరిశోధకులు అల్గారిథం యొక్క సామర్థ్యాన్ని మెరుగుపరచడానికి కృషి చేస్తున్నారు.


The study aims to understand the impact of the new method.

కొత్త పద్ధతి యొక్క ప్రభావాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి ఈ అధ్యయనం లక్ష్యంగా పెట్టుకుంది.


The results of the experiment were statistically significant.

ప్రయోగం యొక్క ఫలితాలు గణాంకపరంగా ముఖ్యమైనవి.


The algorithm uses a probabilistic approach to solve the problem.

సమస్యను పరిష్కరించడానికి అల్గారిథం సంభావ్య విధానాన్ని ఉపయోగిస్తుంది.


The algorithm's efficiency is not hard to see.

అల్గారిథం యొక్క సామర్థ్యాన్ని చూడటం కష్టం కాదు.


Randomized algorithms can be simulated in exponential time.

రాండమైజ్డ్ అల్గారిథమ్‌లను ఘాతాంక సమయంలో అనుకరించవచ్చు.


We can amplify the success probability of a BPP algorithm.

ఒక BPP అల్గారిథం యొక్క విజయ సంభావ్యతను మనం పెంచవచ్చు.


The proof readily follows by enumerating over all choices.

అన్ని ఎంపికలను లెక్కించడం ద్వారా రుజువు సులభంగా అనుసరించబడుతుంది.


For every input, at least two thirds of the choices will result in the correct answer.

ప్రతి ఇన్‌పుట్ కోసం, కనీసం మూడింట రెండు వంతుల ఎంపికలు సరైన సమాధానానికి దారి తీస్తాయి.


Randomness does not help for non-uniform computation.

యాదృచ్ఛికత ఏకరీతి లేని గణనలకు సహాయపడదు.


We can amplify the success probability by repetition.

పునరావృతం చేయడం ద్వారా విజయ సంభావ్యతను పెంచవచ్చు.


There exists a single fixed choice of 'favorable coins'.

'అనుకూల నాణేల' యొక్క ఒకే స్థిర ఎంపిక ఉంది.


We can transform an RNAND-TM program to an RNAND-CIRC program.

మనం RNAND-TM ప్రోగ్రామ్‌ను RNAND-CIRC ప్రోగ్రామ్‌గా మార్చవచ్చు.


The idea behind the proof is amplification.

ప్రూఫ్ వెనుక ఉన్న ఆలోచన విస్తరణ.


F, BPP లో ఉందని అనుకుందాం.


Let P be a polynomial-time RNAND-TM program.

P అనేది పాలీనోమియల్-టైమ్ RNAND-TM ప్రోగ్రామ్ అని అనుకుందాం.


We can amplify the success probability of P.

మనం P యొక్క విజయ సంభావ్యతను పెంచవచ్చు.


'చెడు' సంఘటన Bx ను నిర్వచించండి.


By the union bound we see that the probability is at most 0.1.

యూనియన్ బౌండ్ ద్వారా సంభావ్యత గరిష్టంగా 0.1 అని మనం చూస్తాము.


This means that there exists a particular r*.

అంటే ఒక నిర్దిష్ట r* ఉంది.


మనం కొత్త NAND-CIRC ప్రోగ్రామ్ Qr* ని పొందుతాము.


ప్రూఫ్ ను ఈ విధంగా సంగ్రహించవచ్చు.


We do not need online access to random coins.

యాదృచ్ఛిక నాణేలకు మనకు ఆన్‌లైన్ యాక్సెస్ అవసరం లేదు.


Can we derandomize randomized algorithms?

యాదృచ్ఛిక అల్గారిథమ్‌లను డెరండమైజ్ చేయగలమా?


The algorithm efficiently sorts the data.

అల్గారిథం డేటాను సమర్థవంతంగా క్రమబద్ధీకరిస్తుంది.


She enjoys reading novels in her free time.

ఆమె ఖాళీ సమయంలో నవలలు చదవడానికి ఇష్టపడుతుంది.


The company announced a new product launch.

కంపెనీ కొత్త ఉత్పత్తిని ప్రారంభించినట్లు ప్రకటించింది.


దయచేసి నాకు ఉప్పు ఇవ్వగలరా?


The weather forecast predicts rain tomorrow.

రేపు వర్షం కురుస్తుందని వాతావరణ సూచన చెబుతోంది.


He is a highly skilled software engineer.

అతను అత్యంత నైపుణ్యం కలిగిన సాఫ్ట్‌వేర్ ఇంజనీర్.


The government implemented new policies to boost the economy.

ఆర్థిక వ్యవస్థను ప్రోత్సహించడానికి ప్రభుత్వం కొత్త విధానాలను అమలు చేసింది.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

సవాళ్లు ఎదురైనా, వారు పట్టుదలతో విజయం సాధించారు.


The research paper explores the impact of climate change.

పరిశోధనా పత్రం వాతావరణ మార్పుల ప్రభావాన్ని వివరిస్తుంది.


She is fluent in multiple languages, including Telugu.

ఆమె తెలుగుతో సహా అనేక భాషలలో అనర్గళంగా మాట్లాడుతుంది.


The complex equation required advanced mathematical techniques.

సంక్లిష్టమైన సమీకరణానికి అధునాతన గణిత పద్ధతులు అవసరం.


The philosophical debate delved into the nature of existence.

తత్వశాస్త్ర చర్చ అస్తిత్వ స్వభావాన్ని లోతుగా పరిశీలించింది.


The intricate design of the building showcased architectural brilliance.

భవనం యొక్క సంక్లిష్టమైన రూపకల్పన వాస్తుపరమైన ప్రతిభను ప్రదర్శించింది.


The implications of the new discovery are far-reaching and significant.

కొత్త ఆవిష్కరణ యొక్క పరిణామాలు చాలా దూరం వరకు విస్తరించి ఉన్నాయి మరియు ముఖ్యమైనవి.


Understanding the nuances of the legal system is crucial for effective advocacy.

సమర్థవంతమైన న్యాయవాదానికి న్యాయ వ్యవస్థ యొక్క సూక్ష్మ నైపుణ్యాలను అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం.


The algorithm's efficiency is paramount for large datasets.

పెద్ద డేటాసెట్‌ల కోసం అల్గారిథం యొక్క సామర్థ్యం చాలా ముఖ్యం.


The economic downturn affected various sectors of the industry.

ఆర్థిక మాంద్యం పరిశ్రమలోని వివిధ రంగాలపై ప్రభావం చూపింది.


The artist's innovative techniques revolutionized the art world.

కళాకారుడి వినూత్న పద్ధతులు కళా ప్రపంచంలో విప్లవం తెచ్చాయి.


The scientific community is constantly seeking new breakthroughs.

శాస్త్రీయ సమాజం నిరంతరం కొత్త పురోగతి కోసం చూస్తోంది.


The complex interplay of factors made the situation difficult to predict.

కారణాల యొక్క సంక్లిష్టమైన పరస్పర చర్య పరిస్థితిని అంచనా వేయడం కష్టతరం చేసింది.


ఈ రోజు వాతావరణం ఆహ్లాదకరంగా ఉంది.


దయచేసి తలుపు మూయండి.


నేను మార్కెట్‌కి వెళ్తున్నాను.


మీ పేరు ఏమిటి?


కంపెనీ ఒక కొత్త ఉత్పత్తిని ప్రకటించింది.


The government is discussing new policies.

ప్రభుత్వం కొత్త విధానాలను చర్చిస్తోంది.


అతను చాలా ప్రతిభావంతుడైన సంగీత విద్వాంసుడు.


The research team made a significant discovery.

పరిశోధనా బృందం ఒక ముఖ్యమైన ఆవిష్కరణ చేసింది.


The algorithm efficiently sorts the data.

అల్గారిథం సమర్ధవంతంగా డేటాను క్రమబద్ధీకరిస్తుంది.


సవాళ్లు ఎదురైనా, వారు విజయం సాధించారు.


ఆర్థిక సూచన వృద్ధిని అంచనా వేస్తుంది.


The complex system requires careful analysis.

సంక్లిష్టమైన వ్యవస్థ జాగ్రత్తగా విశ్లేషణ అవసరం.


The implications of the decision are far-reaching.

ఈ నిర్ణయం యొక్క పరిణామాలు చాలా దూరం వరకు ఉంటాయి.


The philosophical debate explored existentialism.

తత్వశాస్త్ర చర్చ అస్తిత్వవాదాన్ని పరిశోధించింది.


The intricate design showcased innovative techniques.

చిక్కుముడి నమూనా వినూత్న పద్ధతులను ప్రదర్శించింది.


The company's strategic plan involves global expansion.

కంపెనీ వ్యూహాత్మక ప్రణాళికలో ప్రపంచ విస్తరణ ఉంది.


The scientific community is investigating the anomaly.

శాస్త్రీయ సమాజం అసాధారణతను పరిశోధిస్తోంది.


The historical context provides valuable insights.

చారిత్రక సందర్భం విలువైన అంతర్దృష్టులను అందిస్తుంది.


The ethical considerations are paramount in this field.

ఈ రంగంలో నైతిక పరిగణనలు అత్యంత ముఖ్యమైనవి.


The quantum entanglement phenomenon is still being studied.

క్వాంటం ఎంటాంగిల్మెంట్ దృగ్విషయం ఇంకా అధ్యయనం చేయబడుతోంది.


The map 푦 ↦ 퐷 푘 (푦) inverts the map 푥 ↦ 퐸 푘 (푥).

మ్యాప్ 푦 ↦ 퐷 푘 (푦) మ్యాప్ 푥 ↦ 퐸 푘 (푥) ని తిరగవేస్తుంది.


Defining security is not a trivial matter.

భద్రతను నిర్వచించడం ఒక సాధారణ విషయం కాదు.


వ్యవస్థ రహస్యంగా ఉండకూడదు.


A cryptosystem should be secure even if everything about the system, except the key, is public knowledge.

కీని మినహాయించి, సిస్టమ్ గురించిన ప్రతిదీ ప్రజలకు తెలిసినా కూడా క్రిప్టోసిస్టమ్ సురక్షితంగా ఉండాలి.


యాదృచ్ఛికత లేకుండా రహస్యంగా ఉండటం సాధ్యం కాదు.


At the heart of every cryptographic scheme there is a secret key.

ప్రతి క్రిప్టోగ్రాఫిక్ పథకం యొక్క గుండె వద్ద ఒక రహస్య కీ ఉంది.


Choosing the secrets for cryptography requires generating randomness.

క్రిప్టోగ్రఫీ కోసం రహస్యాలను ఎంచుకోవడానికి యాదృచ్ఛికతను ఉత్పత్తి చేయడం అవసరం.


Randomness generators often turn out to be the Achilles heel of secure systems.

యాదృచ్ఛికత జనరేటర్లు తరచుగా సురక్షిత వ్యవస్థలకు అఖిలెస్ హీల్ గా మారుతారు.


Breaking the procedure to generate randomness can lead to a complete break of the system.

యాదృచ్ఛికతను ఉత్పత్తి చేసే విధానాన్ని విచ్ఛిన్నం చేయడం వలన సిస్టమ్ పూర్తిగా విచ్ఛిన్నం కావచ్చు.


An encryption scheme is secure if it is not possible to recover the plaintext.

ఒక ఎన్‌క్రిప్షన్ స్కీమ్ సురక్షితం, అది ప్లెయిన్‌టెక్స్ట్ ను తిరిగి పొందడం సాధ్యం కాకపోతే.


The condition of perfect secrecy simply corresponds to requiring that every two plaintexts have exactly the same set of neighbors.

ఖచ్చితమైన రహస్యత యొక్క పరిస్థితి ప్రతి రెండు ప్లెయిన్‌టెక్స్ట్‌లు సరిగ్గా ఒకే విధమైన పొరుగువారిని కలిగి ఉండాలని కోరుకోవడానికి సరిపోతుంది.


An encryption reveals absolutely nothing about the message.

ఒక ఎన్‌క్రిప్షన్ సందేశం గురించి ఏమీ వెల్లడించదు.


Would you learn anything new from observing the encryption?

ఎన్‌క్రిప్షన్‌ను గమనించడం ద్వారా మీరు ఏదైనా కొత్తది నేర్చుకుంటారా?


Let us put ourselves in the shoes of Eve, the eavesdropping adversary.

గూఢచారి అయిన ఈవ్ స్థానంలో మనల్ని మనం ఉంచుకుందాం.


ఈ ఉదాహరణను విస్తృతంగా సాధారణీకరించవచ్చు.


Perfect secrecy is an extremely strong condition.

ఖచ్చితమైన రహస్యత అనేది చాలా బలమైన పరిస్థితి.


We can obtain a perfectly secret encryption scheme fairly easily.

మనం చాలా సులభంగా ఖచ్చితమైన రహస్య ఎన్‌క్రిప్షన్ పథకాన్ని పొందవచ్చు.


ఎన్‌క్రిప్షన్ చాలా సులభం.


To communicate n bits you need to store a key of length n.

n బిట్స్ కమ్యూనికేట్ చేయడానికి, మీరు n పొడవున్న కీని నిల్వ చేయాలి.


ఖచ్చితమైన రహస్యతకు పొడవైన కీలు అవసరం.


The algorithm is used to encrypt sensitive data.

సున్నితమైన డేటాను గుప్తీకరించడానికి ఈ అల్గారిథమ్‌ను ఉపయోగిస్తారు.


Cryptography is a fascinating field of study.

క్రిప్టోగ్రఫీ ఒక మనోహరమైన అధ్యయన రంగం.


Alice and Bob need to establish a secure communication channel.

అలీస్ మరియు బాబ్ సురక్షితమైన కమ్యూనికేషన్ ఛానెల్‌ను ఏర్పాటు చేసుకోవాలి.


The key exchange protocol ensures secure key sharing.

కీ ఎక్స్ఛేంజ్ ప్రోటోకాల్ సురక్షిత కీ షేరింగ్‌ను నిర్ధారిస్తుంది.


Public key encryption allows secure communication without prior key exchange.

పబ్లిక్ కీ ఎన్‌క్రిప్షన్ ముందస్తు కీ మార్పిడి లేకుండా సురక్షిత కమ్యూనికేషన్‌ను అనుమతిస్తుంది.


The security of the system depends on the computational hardness of certain mathematical problems.

వ్యవస్థ యొక్క భద్రత కొన్ని గణిత సమస్యల యొక్క గణన కష్టాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది.


She didn't even dare to imagine the possibilities.

ఆమె ఊహించడానికి కూడా సాహసించలేదు.


The project proposal was rejected by his professor.

ప్రాజెక్ట్ ప్రతిపాదనను అతని ప్రొఫెసర్ తిరస్కరించారు.


Experience shows that it is extremely dangerous to transmit key information in the clear.

కీ సమాచారాన్ని స్పష్టంగా ప్రసారం చేయడం చాలా ప్రమాదకరమని అనుభవం చూపిస్తుంది.


They realized that with the advent of electronic communication, cryptography would find new applications.

ఎలక్ట్రానిక్ కమ్యూనికేషన్ రాకతో, క్రిప్టోగ్రఫీ కొత్త అనువర్తనాలను కనుగొంటుందని వారు గ్రహించారు.


The encryption algorithm transforms the plaintext into ciphertext.

గుప్తీకరణ అల్గారిథం సాదా వచనాన్ని సైఫర్‌టెక్స్ట్‌గా మారుస్తుంది.


The decryption algorithm reverses the encryption process.

విడగొట్టే అల్గారిథం గుప్తీకరణ ప్రక్రియను రివర్స్ చేస్తుంది.


The key generation algorithm creates a key pair.

కీ ఉత్పత్తి అల్గారిథం ఒక కీ జతను సృష్టిస్తుంది.


The security parameter affects the strength of the encryption.

భద్రతా పరామితి గుప్తీకరణ బలాన్ని ప్రభావితం చేస్తుంది.


The Diffie-Hellman key exchange is widely used.

డిఫీ-హెల్మన్ కీ మార్పిడి విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది.


The RSA algorithm is a popular public-key cryptosystem.

RSA అల్గారిథం ఒక ప్రసిద్ధ పబ్లిక్-కీ క్రిప్టోసిస్టమ్.


The one-time pad is a perfectly secure encryption method.

ఒక-సమయం ప్యాడ్ ఖచ్చితంగా సురక్షితమైన గుప్తీకరణ పద్ధతి.


Breaking the encryption requires significant computational resources.

గుప్తీకరణను ఛేదించడానికి గణనీయమైన గణన వనరులు అవసరం.


The adversary attempts to compromise the communication.

ప్రతికూల వ్యక్తి కమ్యూనికేషన్‌ను రాజీ చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాడు.


Quantum computers pose a threat to existing cryptographic systems.

క్వాంటం కంప్యూటర్లు ఇప్పటికే ఉన్న క్రిప్టోగ్రాఫిక్ వ్యవస్థలకు ముప్పు కలిగిస్తాయి.


The study of quantum mechanics can be quite challenging.

క్వాంటం మెకానిక్స్ అధ్యయనం చాలా కష్టంగా ఉంటుంది.


Quantum computing utilizes the principles of quantum mechanics.

క్వాంటం కంప్యూటింగ్ క్వాంటం మెకానిక్స్ సూత్రాలను ఉపయోగిస్తుంది.


The double-slit experiment demonstrates quantum phenomena.

ద్వి-స్లిట్ ప్రయోగం క్వాంటం దృగ్విషయాలను ప్రదర్శిస్తుంది.


ఫోటాన్‌లు తరంగ-కణ ద్వంద్వత్వాన్ని ప్రదర్శిస్తాయి.


Understanding quantum entanglement is crucial.

క్వాంటం ఎంటాంగిల్‌మెంట్‌ను అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం.


Quantum computers could revolutionize data processing.

క్వాంటం కంప్యూటర్లు డేటా ప్రాసెసింగ్‌లో విప్లవాత్మక మార్పులు తీసుకురావచ్చు.


Shor's algorithm is a significant development.

షోర్ యొక్క అల్గారిథం ఒక ముఖ్యమైన అభివృద్ధి.


The concept of superposition is fundamental.

సూపర్позиషన్ భావన ప్రాథమికమైనది.


Quantum mechanics challenges classical physics.

క్వాంటం మెకానిక్స్ సాంప్రదాయ భౌతిక శాస్త్రాన్ని సవాలు చేస్తుంది.


కంప్యూటింగ్ భవిష్యత్తు క్వాంటం కావచ్చు.


He is studying quantum physics at the university.

అతను విశ్వవిద్యాలయంలో క్వాంటం భౌతిక శాస్త్రం అభ్యసిస్తున్నాడు.


The experiment showed unexpected results.

ప్రయోగం ఊహించని ఫలితాలను చూపించింది.


This technology has the potential to change everything.

ఈ సాంకేతికత ప్రతిదీ మార్చే సామర్థ్యాన్ని కలిగి ఉంది.


The scientists are working on a new project.

శాస్త్రవేత్తలు ఒక కొత్త ప్రాజెక్ట్ మీద పనిచేస్తున్నారు.


The implications of this discovery are vast.

ఈ ఆవిష్కరణ యొక్క పరిణామాలు చాలా పెద్దవి.


పరిశోధనా బృందం ఒక పురోగతి సాధించింది.


The field of quantum computing is rapidly evolving.

క్వాంటం కంప్యూటింగ్ రంగం వేగంగా అభివృద్ధి చెందుతోంది.


ఇది పరిష్కరించడానికి ఒక సంక్లిష్టమైన సమస్య.


The results of the experiment were surprising.

ప్రయోగం యొక్క ఫలితాలు ఆశ్చర్యకరంగా ఉన్నాయి.


Further investigation is needed to understand the phenomenon.

ఈ దృగ్విషయాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి మరింత పరిశోధన అవసరం.


The qubit's state can be represented as a superposition of 0 and 1.

ఒక క్యూబిట్ స్థితిని 0 మరియు 1 యొక్క సూపర్పోజిషన్ వలె సూచించవచ్చు.


Quantum computers utilize qubits to perform calculations.

క్వాంటం కంప్యూటర్లు గణనలు చేయడానికి క్యూబిట్‌లను ఉపయోగిస్తాయి.


Alice and Bob's agreement probability is cos^2(π/8).

ఆలిస్ మరియు బాబ్ యొక్క అంగీకార సంభావ్యత cos^2(π/8).


The system collapses to |11⟩ after Alice gets 1.

ఆలిస్ 1 పొందిన తర్వాత సిస్టమ్ |11⟩కి కుప్పకూలుతుంది.


The probability of winning the game is at least 0.8.

ఆట గెలిచే సంభావ్యత కనీసం 0.8.


Quantum mechanics enabled a gain in Bell’s Inequality.

క్వాంటం మెకానిక్స్ బెల్ యొక్క అసమానతలో లాభాన్ని అందించింది.


Consider the probabilistic strategy for Alice and Bob.

ఆలిస్ మరియు బాబ్ కోసం సంభావ్య వ్యూహాన్ని పరిగణించండి.


A classical bit can be either zero or one.

ఒక క్లాసికల్ బిట్ సున్నా లేదా ఒకటి కావచ్చు.


Quantum circuits are analogous to Boolean circuits.

క్వాంటం సర్క్యూట్‌లు బూలియన్ సర్క్యూట్‌లకు సమానంగా ఉంటాయి.


The No Cloning Theorem is a crucial concept.

నో క్లోనింగ్ సిద్ధాంతం ఒక ముఖ్యమైన భావన.


Quantum circuits use unitary matrices to express operations.

క్వాంటం సర్క్యూట్‌లు కార్యకలాపాలను వ్యక్తీకరించడానికి యూనిటరీ మాతృకలను ఉపయోగిస్తాయి.


The output degree of every vertex in a quantum circuit is at most one.

క్వాంటం సర్క్యూట్‌లోని ప్రతి శీర్షం యొక్క అవుట్‌పుట్ డిగ్రీ ఒకటి కంటే ఎక్కువ కాదు.


We cannot reuse quantum states without measuring them.

వాటిని కొలవకుండా మనం క్వాంటం స్థితులను తిరిగి ఉపయోగించలేము.


The NAND operation corresponds to a unitary matrix.

NAND ఆపరేషన్ ఒక యూనిటరీ మాతృకకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.


A quantum circuit is obtained by applying a sequence of gates.

గేట్‌ల శ్రేణిని వర్తింపజేయడం ద్వారా క్వాంటం సర్క్యూట్ పొందబడుతుంది.


The Hadamard operation is also used in quantum circuits.

హడమార్డ్ ఆపరేషన్ కూడా క్వాంటం సర్క్యూట్‌లలో ఉపయోగించబడుతుంది.


The circuit computes f if the probability is at least 2/3.

సంభావ్యత కనీసం 2/3 అయితే సర్క్యూట్ fని లెక్కిస్తుంది.


We define BQP/poly for quantum computation.

క్వాంటం గణన కోసం మేము BQP/polyని నిర్వచిస్తాము.


Quantum computers may provide exponential speedup.

క్వాంటం కంప్యూటర్లు ఘాతాంక వేగాన్ని అందించవచ్చు.


QNAND-CIRC programs are used in quantum computing.

QNAND-CIRC ప్రోగ్రామ్‌లు క్వాంటం కంప్యూటింగ్‌లో ఉపయోగించబడతాయి.


The algorithm recovers the factorization of M from the periods of functions.

ఈ అల్గారిథం ఫంక్షన్ల కాల వ్యవధులనుండి M యొక్క కారకాలను తిరిగి పొందుతుంది.


Shor's algorithm is used to find the prime factorization of a number.

ఒక సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారకాలను కనుగొనడానికి షోర్ యొక్క అల్గారిథం ఉపయోగించబడుతుంది.


The Quantum Fourier Transform is a key component of Shor's algorithm.

క్వాంటం ఫౌరియర్ ట్రాన్స్ఫార్మ్ షోర్ యొక్క అల్గారిథమ్‌లో ఒక ముఖ్యమైన భాగం.


We can use classical results in number theory to obtain prime factors.

ప్రధాన కారణాంకాలను పొందడానికి మనం సంఖ్యా సిద్ధాంతంలో సాంప్రదాయ ఫలితాలను ఉపయోగించవచ్చు.


The Quantum Fourier Transform allows us to sample from a distribution.

క్వాంటం ఫౌరియర్ ట్రాన్స్ఫార్మ్ ఒక పంపిణీ నుండి నమూనాను తీసుకోవడానికి అనుమతిస్తుంది.


The algorithm involves repeated steps to find the period of a function.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క కాలాన్ని కనుగొనడానికి అల్గారిథమ్‌లో పదేపదే చర్యలు ఉంటాయి.


Understanding the Fourier Transform is crucial for this algorithm.

ఈ అల్గారిథం కోసం ఫౌరియర్ ట్రాన్స్ఫార్మ్‌ను అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం.


The Quantum Fourier Transform is not the same as computing the Fourier transform.

క్వాంటం ఫౌరియర్ ట్రాన్స్ఫార్మ్, ఫౌరియర్ ట్రాన్స్ఫార్మ్‌ను గణించడం ఒకటే కాదు.


The algorithm uses the Quantum Fourier Transform as its main ingredient.

అల్గారిథం దాని ప్రధాన భాగంగా క్వాంటం ఫౌరియర్ ట్రాన్స్ఫార్మ్‌ను ఉపయోగిస్తుంది.


The algorithm's steps are repeated a polynomial number of times.

అల్గారిథం యొక్క దశలు పాలీనోమియల్ సంఖ్యలో పునరావృతమవుతాయి.


The algorithm is used in quantum computing.

ఈ అల్గారిథం క్వాంటం కంప్యూటింగ్‌లో ఉపయోగించబడుతుంది.


The algorithm's output is the prime factorization.

అల్గారిథం యొక్క అవుట్‌పుట్ ప్రధాన కారకం.


అల్గారిథం యొక్క ఇన్‌పుట్ ఒక సంఖ్య.


The algorithm involves choosing a random number.

అల్గారిథమ్‌లో ఒక యాదృచ్ఛిక సంఖ్యను ఎంచుకోవడం జరుగుతుంది.


అల్గారిథం క్వాంటం స్థితులను ఉపయోగిస్తుంది.


అల్గారిథం సంక్లిష్టమైనది.


The algorithm is related to number theory.

అల్గారిథం సంఖ్యా సిద్ధాంతానికి సంబంధించినది.


The algorithm is used to factorize numbers.

సంఖ్యలను కారకాలుగా విభజించడానికి అల్గారిథం ఉపయోగించబడుతుంది.


అల్గారిథం ఒక క్వాంటం అల్గారిథం.


అల్గారిథమ్‌లో అనేక దశలు ఉన్నాయి.


If you are confused by quantum mechanics, you are not alone.

క్వాంటం మెకానిక్స్ గురించి మీకు అయోమయంగా ఉంటే, మీరు ఒక్కరే కాదు.


Quantum mechanics won: it turns out that it is in fact possible to use measurements to create correlations between the states of objects far removed from one another that cannot be explained by any prior theory.

క్వాంటం మెకానిక్స్ గెలిచింది: కొలతలను ఉపయోగించి ఒకదానికొకటి చాలా దూరంగా ఉన్న వస్తువుల స్థితుల మధ్య సంబంధాలను సృష్టించడం సాధ్యమని తేలింది, ఇది మునుపటి సిద్ధాంతం ద్వారా వివరించబడదు.


Suppose that Alice and Bob try to convince you they have telepathic ability, and they aim to prove it via the following experiment.

ఆలిస్ మరియు బాబ్ మీకు టెలిపథి సామర్థ్యం ఉందని ఒప్పించడానికి ప్రయత్నిస్తున్నారని అనుకోండి, మరియు వారు ఈ క్రింది ప్రయోగం ద్వారా దీన్ని నిరూపించాలని లక్ష్యంగా పెట్టుకున్నారు.


You choose a random bit x ∈ {0,1} and your associate chooses a random y ∈ {0,1}.

మీరు యాదృచ్ఛిక బిట్ x ∈ {0,1}ని ఎంచుకుంటారు మరియు మీ సహచరుడు యాదృచ్ఛిక y ∈ {0,1}ని ఎంచుకుంటాడు.


We say that Alice and Bob win this experiment if a ⊕ b = x ∧ y.

a ⊕ b = x ∧ y అయితే ఆలిస్ మరియు బాబ్ ఈ ప్రయోగంలో గెలుస్తారు అని మేము చెబుతాము.


In other words, Alice and Bob need to output two bits that disagree if x = y = 1 and agree otherwise.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, x = y = 1 అయితే ఆలిస్ మరియు బాబ్ రెండు బిట్‌లను విభేదించాలి మరియు లేకపోతే ఏకీభవించాలి.


Now if Alice and Bob are not telepathic, then they need to agree in advance on some strategy.

ఇప్పుడు ఆలిస్ మరియు బాబ్ టెలిపథిక్ కాకపోతే, వారు ముందుగానే కొన్ని వ్యూహాలపై అంగీకరించాలి.


For every two functions f,g ∶ {0,1} → {0,1}, Pr x,y∈{0,1} [f(x)⊕g(y) = x∧y] ≤ 3/4.

ప్రతి రెండు ఫంక్షన్ల కోసం f,g ∶ {0,1} → {0,1}, Pr x,y∈{0,1} [f(x)⊕g(y) = x∧y] ≤ 3/4.


An amazing experimentally verified fact is that quantum mechanics allows for “telepathy”.

ఒక అద్భుతమైన ప్రయోగాత్మకంగా ధృవీకరించబడిన వాస్తవం ఏమిటంటే క్వాంటం మెకానిక్స్ “టెలిపథీ”ని అనుమతిస్తుంది.


Some of the counterintuitive properties that arise from quantum mechanics include: Interference.

క్వాంటం మెకానిక్స్ నుండి ఉత్పన్నమయ్యే కొన్ని వ్యతిరేక లక్షణాలు: జోక్యం.


The idea that amplitudes are negative as long as “no one is looking” and “collapse” (by squaring them) to positive probabilities when they are measured is deeply disturbing.

ఎవరూ చూడనంత కాలం విస్తరణలు ప్రతికూలంగా ఉండటం మరియు వాటిని కొలిచినప్పుడు సానుకూల సంభావ్యతలకు “కుప్పకూలడం” (వాటిని చదరపు చేయడం ద్వారా) అనే ఆలోచన చాలా కలవరపరిచేది.


The notion that two parts of the system could be connected in this weird way where measuring one will affect the other is known as quantum entanglement.

ఒకదానిని కొలిస్తే మరొకటి ప్రభావితమయ్యే ఈ విచిత్రమైన మార్గంలో సిస్టమ్ యొక్క రెండు భాగాలు కనెక్ట్ చేయబడవచ్చు అనే భావనను క్వాంటం ఎంటాంగిల్మెంట్ అంటారు.


As counter-intuitive as these concepts are, they have been experimentally confirmed, so we just have to live with them.

ఈ భావనలు ఎంత వ్యతిరేకంగా ఉన్నప్పటికీ, అవి ప్రయోగాత్మకంగా ధృవీకరించబడ్డాయి, కాబట్టి మనం వాటితో జీవించాలి.


One of the strange aspects of the quantum-mechanical picture of the world is that unlike in the billiard ball example, there is no obvious algorithm to simulate the evolution of n particles over t time periods in poly(n,t) steps.

ప్రపంచం యొక్క క్వాంటం-మెకానికల్ చిత్రణ యొక్క విచిత్రమైన అంశాలలో ఒకటి ఏమిటంటే, బిలియర్డ్ బాల్ ఉదాహరణలో కాకుండా, పాలి(n,t) దశల్లో t కాల వ్యవధుల్లో n కణాల పరిణామాన్ని అనుకరించడానికి స్పష్టమైన అల్గారిథం లేదు.


In fact, the natural way to simulate n quantum particles will require a number of steps that is exponential in n.

వాస్తవానికి, n క్వాంటం కణాలను అనుకరించడానికి సహజమైన మార్గం nలో ఘాతాంకమైన సంఖ్యలో దశలను అవసరం.


If a physical system cannot be simulated by a computer in T steps, the system can be considered as performing a computation that would take more than T steps.

ఒక భౌతిక వ్యవస్థను T దశల్లో కంప్యూటర్ ద్వారా అనుకరించలేకపోతే, ఆ వ్యవస్థ T కంటే ఎక్కువ దశలు తీసుకునే గణనను నిర్వహిస్తున్నట్లు పరిగణించవచ్చు.


So, he asked whether one could design a quantum system such that its outcome y based on the initial condition x would be some function y = f(x) such that (a) we don’t know how to efficiently compute in any other way, and (b) is actually useful for something.

కాబట్టి, ప్రారంభ పరిస్థితి x ఆధారంగా దాని ఫలితం y, y = f(x) అనే ఫంక్షన్ అవుతుందా అని అతను అడిగాడు, (a) మనం మరే విధంగానైనా సమర్థవంతంగా లెక్కించలేము మరియు (b) వాస్తవానికి ఏదో ఒకదానికి ఉపయోగపడుతుంది.


Quantum chemistry is important (and in particular understanding it can be a bottleneck for designing new materials, drugs, and more), but it is still a rather niche area within the broader context of computing (and even scientific computing) applications.

క్వాంటం కెమిస్ట్రీ ముఖ్యం (మరియు ముఖ్యంగా దానిని అర్థం చేసుకోవడం కొత్త పదార్థాలు, మందులు మరియు మరిన్నింటిని రూపొందించడానికి ఒక అడ్డంకి కావచ్చు), కానీ ఇది కంప్యూటింగ్ (మరియు శాస్త్రీయ కంప్యూటింగ్) అనువర్తనాల విస్తృత సందర్భంలో ఇప్పటికీ ఒక ప్రత్యేకమైన ప్రాంతం.


In 1994 Peter Shor showed that quantum computers can solve the integer factoring and discrete logarithm problems in polynomial time.

1994లో పీటర్ షోర్ క్వాంటం కంప్యూటర్లు పాలీనోమియల్ సమయంలో పూర్ణాంక కారకం మరియు వివిక్త లోగరిథం సమస్యలను పరిష్కరించగలవని చూపించాడు.


Despite popular accounts of quantum computers as having variables that can take “zero and one at the same time” and therefore can “explore an exponential number of possibilities simultaneously”, their true power is much more subtle and nuanced.

క్వాంటం కంప్యూటర్లు “ఒకే సమయంలో సున్నా మరియు ఒకటి” తీసుకోవగల వేరియబుల్స్‌ను కలిగి ఉన్నాయని మరియు అందువల్ల “ఒకే సమయంలో ఘాతాంక సంఖ్యలో అవకాశాలను అన్వేషించగలవు” అని ప్రజాదరణ పొందిన ఖాతాలు ఉన్నప్పటికీ, వాటి అసలు శక్తి చాలా సూక్ష్మమైనది మరియు సూక్ష్మమైనది.


Essential Discrete Mathematics for Computer Science.

కంప్యూటర్ సైన్స్ కోసం ముఖ్యమైన డిస్క్రీట్ గణితం.


గణన స్వభావం.


A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity.

నాడీ కార్యకలాపాలలో అంతర్లీనంగా ఉన్న ఆలోచనల యొక్క తార్కిక కాలిక్యులస్.


యాదృచ్ఛిక అల్గారిథమ్‌లు.


Probability and computing: randomization and probabilistic techniques in algorithms and data analysis.

సంభావ్యత మరియు కంప్యూటింగ్: అల్గారిథమ్‌లు మరియు డేటా విశ్లేషణలో యాదృచ్ఛికత మరియు సంభావ్యత పద్ధతులు.


EDVAC పై నివేదిక యొక్క మొదటి ముసాయిదా.


The elements of computing systems: building a modern computer from first principles.

కంప్యూటింగ్ సిస్టమ్స్ యొక్క అంశాలు: మొదటి సూత్రాల నుండి ఆధునిక కంప్యూటర్‌ను నిర్మించడం.


The PageRank citation ranking: Bringing order to the web.

పేజ్‌ర్యాంక్ కోట్ ర్యాంకింగ్: వెబ్‌కు క్రమాన్ని తీసుకురావడం.


రకాలు మరియు ప్రోగ్రామింగ్ భాషలు.


Classes of recursively enumerable sets and their decision problems.

పునరావృతంగా లెక్కించదగిన సెట్‌ల తరగతులు మరియు వాటి నిర్ణయ సమస్యలు.


చిన్న సార్వత్రిక ట్యూరింగ్ యంత్రాలు.


Discrete mathematics and its applications.

వివిక్త గణితం మరియు దాని అనువర్తనాలు.


Finite automata and their decision problems.

పరిమిత ఆటోమేటా మరియు వాటి నిర్ణయ సమస్యలు.


గణన నమూనాలు.


On the history of combinatorial optimization (till 1960).

సంయోగ ఆప్టిమైజేషన్ చరిత్రపై (1960 వరకు).


A symbolic analysis of relay and switching circuits.

రీలే మరియు స్విచింగ్ సర్క్యూట్‌ల యొక్క సాంకేతిక విశ్లేషణ.


Factoring numbers in O(logn) arithmetic steps.

O(logn) అంకగణిత దశల్లో సంఖ్యలను కారకం చేయడం.


తార్కిక కలలు.


A set of five independent postulates for Boolean algebras, with application to logical constants.

బూలియన్ బీజగణితాల కోసం ఐదు స్వతంత్ర సిద్ధాంతాల సమితి, తార్కిక స్థిరాంకాలకు అనువర్తనంతో.


Hidden figures: the American dream and the untold story of the Black women mathematicians who helped win the space race.

దాచిన వ్యక్తులు: అమెరికన్ కల మరియు అంతరిక్ష రేసును గెలవడానికి సహాయం చేసిన నల్లజాతి మహిళా గణిత శాస్త్రజ్ఞుల యొక్క చెప్పబడని కథ.